题目

对于简单立方晶格，晶格常数为a，密勒指数为(h,k,l)的晶面系，证明其面间距为：d=(a)/(sqrt(h^2+k^2+l^2))

对于简单立方晶格，晶格常数为$a$，密勒指数为$(h,k,l)$的晶面系，证明其面间距为：

$d=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$

题目解答

答案

对于简单立方晶格，晶格基矢为 $\vec{a}_1 = a \hat{i}$、$\vec{a}_2 = a \hat{j}$、$\vec{a}_3 = a \hat{k}$。对应的倒格子基矢为： \[ \vec{b}_1 = \frac{2\pi}{a} \hat{i}, \quad \vec{b}_2 = \frac{2\pi}{a} \hat{j}, \quad \vec{b}_3 = \frac{2\pi}{a} \hat{k} \] 倒格矢为： \[ \vec{G}_{hkl} = \frac{2\pi}{a} (h \hat{i} + k \hat{j} + l \hat{k}) \] 其模长为： \[ |\vec{G}_{hkl}| = \frac{2\pi}{a} \sqrt{h^2 + k^2 + l^2} \] 根据 $d = \frac{2\pi}{|\vec{G}_{hkl}|}$，可得： \[ d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}} \] 最终结果为： \[ d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}} \]

解析

本题考查简单立方晶格的倒格子基矢、倒格矢以及面间距的相关知识。解题的关键思路是先根据简单立方晶格的晶格基矢求出倒格子基矢，再得到倒格矢，计算倒格矢的模长，最后利用面间距与倒格矢模长的关系证明面间距公式。

  1. 确定简单立方晶格的晶格基矢：
    • 对于简单立方晶格，其晶格基矢为$\vec{a}_1 = a \hat{i}$、$\vec{a}_2 = a \hat{j}$、$\vec{a}_3 = a \hat{k}$，其中$a$为晶格常数，$\hat{i}$、$\hat{j}$、$\hat{k}$分别为$x$、$y$、$z$轴的单位矢量。
  2. 计算倒格子基矢：
    • 倒格子基矢的计算公式为$\vec{b}_i = 2\pi\frac{\vec{a}_j\times\vec{a}_k}{\vec{a}_1\cdot(\vec{a}_2\times\vec{a}_3)}$（$i,j,k$为$1,2,3$的循环排列）。
    • 先计算$\vec{a}_1\cdot(\vec{a}_2\times\vec{a}_3)$：
      • $\vec{a}_2\times\vec{a}_3=(a\hat{j})\times(a\hat{k}) = a^2\hat{i}$。
      • 则$\vec{a}_1\cdot(\vec{a}_2\times\vec{a}_3)=(a\hat{i})\cdot(a^2\hat{i})=a^3$。
    • 计算$\vec{b}_1$：
      • $\vec{b}_1 = 2\pi\frac{\vec{a}_2\times\vec{a}_3}{\vec{a}_1\cdot(\vec{a}_2\times\vec{a}_3)}=2\pi\frac{a^2\hat{i}}{a^3}=\frac{2\pi}{a}\hat{i}$。
    • 同理可得$\vec{b}_2 = 2\pi\frac{\vec{a}_3\times\vec{a}_1}{\vec{a}_1\cdot(\vec{a}_2\times\vec{a}_3)}=\frac{2\pi}{a}\hat{j}$，$\vec{b}_3 = 2\pi\frac{\vec{a}_1\times\vec{a}_2}{\vec{a}_1\cdot(\vec{a}_2\times\vec{a}_3)}=\frac{2\pi}{a}\hat{k}$。
  3. 得到倒格矢：
    • 倒格矢$\vec{G}_{hkl}=h\vec{b}_1 + k\vec{b}_2 + l\vec{b}_3$（$h,k,l$为密勒指数）。
    • 将$\vec{b}_1 = \frac{2\pi}{a}\hat{i}$、$\vec{b}_2 = \frac{2\pi}{a}\hat{j}$、$\vec{b}_3 = \frac{2\pi}{a}\hat{k}$代入可得：
      • $\vec{G}_{hkl}=\frac{2\pi}{a}(h\hat{i}+k\hat{j}+l\hat{k})$。
  4. 计算倒格矢的模长：
    • 对于矢量$\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$，其模长$|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2 + A_y^2+A_z^2}$。
    • 对于$\vec{G}_{hkl}=\frac{2\pi}{a}(h\hat{i}+k\hat{j}+l\hat{k})$，$A_x=\frac{2\pi h}{a}$，$A_y=\frac{2\pi k}{a}$，$A_z=\frac{2\pi l}{a}$。
    • 则$|\vec{G}_{hkl}|=\sqrt{(\frac{2\pi h}{a})^2+(\frac{2\pi k}{a})^2+(\frac{2\pi l}{a})^2}$。
    • 提取公因式$(\frac{2\pi}{a})^2$可得：$|\vec{G}_{hkl}|=\frac{2\pi}{a}\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}$。
  5. 计算面间距：
    • 面间距$d$与倒格矢模长$|\vec{G}_{hkl}|$的关系为$d = \frac{2\pi}{|\vec{G}_{hkl}|}$。
    • 将$|\vec{G}_{hkl}|=\frac{2\pi}{a}\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}$代入可得：
      • $d=\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{a}\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}=\frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$。