题目

某材料的对称循环[1]弯曲疲劳极限 sigma_(-1)=350mathrm(MPa), 屈服极限 sigma_(mathrm{s)}=550mathrm(MPa), 强度极限 sigma_(mathrm{b)}=750mathrm(MPa), 循环基数 N_(0)=5times10^6, m=9, 试求对称循环次数 N 分别为 5times10^4、5times10^5、5times10^7 次时的极限应力。

某材料的对称循环[1]弯曲疲劳极限 $\sigma_{-1}=350\mathrm{MPa}$, 屈服极限 $\sigma_{\mathrm{s}}=550\mathrm{MPa}$, 强度极限 $\sigma_{\mathrm{b}}=750\mathrm{MPa}$, 循环基数 $N_{0}=5\times10^{6}$, $m=9$, 试求对称循环次数 $N$ 分别为 $5\times10^{4}$、$5\times10^{5}$、$5\times10^{7}$ 次时的极限应力。

题目解答

答案

根据疲劳强度公式 $\sigma_N = \sigma_{-1} \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$： 1. 当 $N = 5 \times 10^4$ 时，$\sigma_N = 350 \times 100^{\frac{1}{9}} \approx 583.8\,\text{MPa}$，但 $\sigma_N > \sigma_s$，故取 $\sigma_N = 550\,\text{MPa}$。 2. 当 $N = 5 \times 10^5$ 时，$\sigma_N = 350 \times 10^{\frac{1}{9}} \approx 452\,\text{MPa}$。 3. 当 $N = 5 \times 10^7$ 时，$N > N_0$，故 $\sigma_N = 350\,\text{MPa}$。 最终结果： - $N = 5 \times 10^4$：$\sigma_N = 550\,\text{MPa}$。 - $N = 5 \times 10^5$：$\sigma_N \approx 452\,\text{MPa}$。 - $N = 5 \times 10^7$：$\sigma_N = 350\,\text{MPa}$。

解析

考查要点：本题主要考查对称循环弯曲疲劳极限的计算，涉及疲劳强度公式应用、屈服极限的限制条件以及循环次数与疲劳极限的关系。

解题核心思路：

  1. 公式应用：使用疲劳强度公式 $\sigma_N = \sigma_{-1} \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$ 计算不同循环次数下的极限应力。
  2. 临界条件判断：若计算结果 $\sigma_N$ 超过屈服极限 $\sigma_s$，则取 $\sigma_s$ 作为极限应力；若循环次数 $N > N_0$，则极限应力保持为 $\sigma_{-1}$。

破题关键点：

  • 区分不同循环次数范围：当 $N \leq N_0$ 时使用公式计算，当 $N > N_0$ 时直接取 $\sigma_{-1}$。
  • 验证结果合理性：计算结果需与屈服极限比较，避免超出材料实际承载能力。

当 $N = 5 \times 10^4$ 时

  1. 判断循环次数范围：$N = 5 \times 10^4 < N_0 = 5 \times 10^6$，需计算 $\sigma_N$。
  2. 代入公式：
    $\sigma_N = 350 \times \left( \frac{5 \times 10^6}{5 \times 10^4} \right)^{\frac{1}{9}} = 350 \times 100^{\frac{1}{9}} \approx 350 \times 1.668 \approx 583.8\,\text{MPa}$
  3. 与屈服极限比较：$\sigma_N = 583.8\,\text{MPa} > \sigma_s = 550\,\text{MPa}$，故取 $\sigma_N = 550\,\text{MPa}$。

当 $N = 5 \times 10^5$ 时

  1. 判断循环次数范围：$N = 5 \times 10^5 < N_0 = 5 \times 10^6$，需计算 $\sigma_N$。
  2. 代入公式：
    $\sigma_N = 350 \times \left( \frac{5 \times 10^6}{5 \times 10^5} \right)^{\frac{1}{9}} = 350 \times 10^{\frac{1}{9}} \approx 350 \times 1.291 \approx 452\,\text{MPa}$
  3. 与屈服极限比较：$\sigma_N = 452\,\text{MPa} < \sigma_s = 550\,\text{MPa}$，结果有效。

当 $N = 5 \times 10^7$ 时

  1. 判断循环次数范围：$N = 5 \times 10^7 > N_0 = 5 \times 10^6$，直接取 $\sigma_N = \sigma_{-1} = 350\,\text{MPa}$。