已知一闭式反应器的dfrac ({D)_(a)}(u{L)_(1)}=0.1,该反应器若用多釜串联模型来描述,则模型参数N=5。第一只釜:体积30L,进料流量900L/h(纯A),出口转化率60%;第一只釜:体积40L,出口转化率80%dfrac ({D)_(a)}(u{L)_(1)}=0.1。(1)求该反应的动力学方程式。(2)先采用一只40L的釜(在前)和一只新釜(在后)串联,在反应温度和总出口转化率不变的情况下,是纯A处理量提高一倍,求新釜的体积。(3)若采用一活塞流反应器来完成与(2)相同的生产任务,求该反应器的体积。

本题主要考查化学反应动力学、多釜串联反应器和和活塞流反应器的相关知识。。解题的关键在于根据已知条件确定反应的动力学方程，再利用不同反应器的反应器模型公式计算反应器体积。

（1）求该反应的动力学方程式

• 已知$C_{AO}=C_{BO$，$V_A = V_B$，根据反应速率的定义，对于二级反应$(-R_A)=kC_AC_BC_A$，由于$C_{AO}=C_{BO}$，所以$(-R_A)=kC_A^2$。
• 对于全混釜，其设计方程为$V = \frac{Q_0X_A}{-R_A}$，其中$V$为釜体积，$Q_0$为进料流量，$X_A$为转化率，$-R_A$为反应速率。
• 对于第一只釜，$V_1 = 30L$，$Q_0 = 900L/h$，$X_{A1}=0.6$，则$-R_{A1}=\frac{Q_0X_{A1}}{V_1}=\frac{900\times0.6}{30}=18mol/(L\cdot h)$。
• 又因为$-R_{1}=kC_{A1}^2=kC_{AO}^2(1 - X_{A1})^2$，所以$kC_{AO}^2=\frac{-R_{1}}{(1 - X_{A1})^2}=\frac{18}{(1 - 0.6)^2}=112.5h^{-1}$。
• 那么反应的动力学方程式为$(-R_A)=kC_A^2=\frac{112.5}{C_{AO}^2}C_A^2$。

（2）求新釜的体积

• 已知处理量提高一倍，即$Q_0' = 2Q_0 = 2\times900 = 1800L/h$，总出口转化率$X_{A2}=0.8$不变。
• 对于第一只釜（$V_1' = 40L$），根据全混釜设计方程$V_1'=\frac{Q_0'X_{A1}'}{-R_{A1}'}$，且$-R_{A1}'=kC_{A1}'^2=kC_{AO}^2}^(1 - X_{A1}')^2$，$kC_{AO}^2 = 112.5h^{-1}$，则$\frac{X_{A1}'}{(1 - X_{A1}')^2}=\frac{kC_{AO^2V_1'}{Q_0'}=\frac{112.5\times40}{1800}=2.5$
• 设$X_{A1}' = x$，则$\frac{x}{(1 - x)^2}=2.5$，即$2.5(1 - 2x + x^2)-x = 0$，$2.5x^2 - 6x + 2.5 = 0$。
• 由一元二次方程$ax^2+bx + c = 0$的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，这里$a = 2.5$，$b=-6$，$c = 2.5$，可得$x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2 - 4\times2.5\times2.5}}{2\times2.5}$，解得$x_1 = 0.5367$，$x_2 = 2.2633$（转化率不能大于$1$，舍去），所以$X_{A1}' = 0.5367$。
• 对于第二只釜，$-R_{A2}'=kC_{A2}'^2=kC_{AO}^(1 - X_{A2}')^2$，且$V_2'=\frac{Q_0'(X_{A2}'-X_{A1}')}{-R_{A2}'}$，则$V_2'=\frac{Q_0'(X_{A2}'-X_{A1}')}{kC_{AO}^2(1 - X_{A2}')^2}=\frac{1800\times(0.8 - 0.5367)}{112.5\times(1 - 0.8)^2}=205.3L$。

（3）求活塞流反应器的体积

• 对于活塞流反应器（PFR），二级反应的设计方程为$\frac{1}{C_A}-\frac{1}{C_{AO}}=kt$，又因为$C_A = C_{AO}(1 - X_A)$，所以$\frac{X_A}{1 - X_A}=kC_{AO}t$。
• 已知$kC_{AO}^2 = 1112.5h^{-1}$，$X_A = 0.8$，则平均停留时间$\overline{t}=\frac{1}{kC_{AO}}\cdot\frac{X_A}{1 - X_A}=\frac{1}{112.5}\cdot\frac{0.8}{(1 - 0.8)}=0.0356h$。
• 反应器体积$V_r = Q_0'\overline{t}=1800\times0.0356 = 64L$。