题目

某材料的对称循环[1]弯曲疲劳极限 sigma_(-1)=350 mathrm(MPa), 屈服极限 sigma_(mathrm{s)}=550 mathrm(MPa), 强度极限 sigma_(mathrm{b)}=750 mathrm(MPa), 循环基数 N_(0)=5 times 10^6, m=9, 试求对称循环次数 N 分别为 5 times 10^4 次、5 times 10^5 次、5 times 10^7 次时的极限应力。

某材料的对称循环[1]弯曲疲劳极限 $\sigma_{-1}=350 \mathrm{MPa}$, 屈服极限 $\sigma_{\mathrm{s}}=550 \mathrm{MPa}$, 强度极限 $\sigma_{\mathrm{b}}=750 \mathrm{MPa}$, 循环基数 $N_{0}=5 \times 10^{6}$, $m=9$, 试求对称循环次数 $N$ 分别为 $5 \times 10^{4}$ 次、$5 \times 10^{5}$ 次、$5 \times 10^{7}$ 次时的极限应力。

题目解答

答案

根据疲劳曲线公式 $\sigma = \sigma_{-1} \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$，可得： 1. 当 $N = 5 \times 10^4$ 次时： \[ \sigma = 350 \times 10^{\frac{2}{9}} \approx 583.8 \, \text{MPa} > \sigma_s = 550 \, \text{MPa}, \quad \text{故} \, \sigma = 550 \, \text{MPa}. \] 2. 当 $N = 5 \times 10^5$ 次时： \[ \sigma = 350 \times 10^{\frac{1}{9}} \approx 452 \, \text{MPa}. \] 3. 当 $N = 5 \times 10^7$ 次时： \[ \sigma = 350 \times 0.1^{\frac{1}{9}} \approx 271 \, \text{MPa}. \] 综上： - $N = 5 \times 10^4$ 次时，$\sigma = 550 \, \text{MPa}$。 - $N = 5 \times 10^5$ 次时，$\sigma \approx 452 \, \text{MPa}$。 - $N = 5 \times 10^7$ 次时，$\sigma \approx 271 \, \text{MPa}$。

解析

考查要点：本题主要考查对称循环弯曲疲劳极限的计算，涉及疲劳曲线公式的应用及屈服极限的判断。

解题核心思路：

  1. 疲劳曲线公式：$\sigma = \sigma_{-1} \left( \frac{N_0}{N} \right)^{\frac{1}{m}}$，用于计算不同循环次数下的极限应力。
  2. 屈服极限判断：若计算结果超过屈服极限$\sigma_s$，则实际极限应力取$\sigma_s$。

破题关键点：

  • 公式代入：正确代入已知参数，注意指数运算的准确性。
  • 临界值判断：计算结果需与$\sigma_s$比较，确保结果合理性。

当 $N = 5 \times 10^4$ 次时：

  1. 代入公式：
    $\sigma = 350 \times \left( \frac{5 \times 10^6}{5 \times 10^4} \right)^{\frac{1}{9}} = 350 \times 10^{\frac{2}{9}}$
  2. 计算指数：
    $10^{\frac{2}{9}} \approx 1.668 \quad \Rightarrow \quad \sigma \approx 350 \times 1.668 \approx 583.8 \, \text{MPa}$
  3. 判断屈服极限：
    $583.8 \, \text{MPa} > 550 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \sigma = 550 \, \text{MPa}$

当 $N = 5 \times 10^5$ 次时：

  1. 代入公式：
    $\sigma = 350 \times \left( \frac{5 \times 10^6}{5 \times 10^5} \right)^{\frac{1}{9}} = 350 \times 10^{\frac{1}{9}}$
  2. 计算指数：
    $10^{\frac{1}{9}} \approx 1.292 \quad \Rightarrow \quad \sigma \approx 350 \times 1.292 \approx 452 \, \text{MPa}$
  3. 判断屈服极限：
    $452 \, \text{MPa} < 550 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \sigma = 452 \, \text{MPa}$

当 $N = 5 \times 10^7$ 次时：

  1. 代入公式：
    $\sigma = 350 \times \left( \frac{5 \times 10^6}{5 \times 10^7} \right)^{\frac{1}{9}} = 350 \times 0.1^{\frac{1}{9}}$
  2. 计算指数：
    $0.1^{\frac{1}{9}} \approx 0.774 \quad \Rightarrow \quad \sigma \approx 350 \times 0.774 \approx 271 \, \text{MPa}$
  3. 判断屈服极限：
    $271 \, \text{MPa} < 550 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \sigma = 271 \, \text{MPa}$