题目

某试件材料为 45#，其性能参数如下：sigma_(-1) = 370MPa 受，m = 9，N_0 = 5 times 10^6。受周期性非稳定变应力作用：以对称循环[1]变应力 sigma_1 = 500MPa 作用 N_1 = 10^4，以对称循环变应力 sigma_2 = 400MPa 作用 N_2 = 10^5，若再以 sigma_3 = 420MPa 作用该试件，试件还能再循环多少次？若改为以 sigma_3 = 350MPa 作用该试件，试件还能再循环多少次？

某试件材料为 $45\#$，其性能参数如下：$\sigma_{-1} = 370MPa$ 受，$m = 9$，$N_0 = 5 \times 10^6$。受周期性非稳定变应力作用：以对称循环[1]变应力 $\sigma_1 = 500MPa$ 作用 $N_1 = 10^4$，以对称循环变应力 $\sigma_2 = 400MPa$ 作用 $N_2 = 10^5$，若再以 $\sigma_3 = 420MPa$ 作用该试件，试件还能再循环多少次？若改为以 $\sigma_3 = 350MPa$ 作用该试件，试件还能再循环多少次？

题目解答

答案

根据疲劳寿命方程 $\sigma_a N^m = C$，可得： \[ N_1' \approx 4.84 \times 10^6, \quad N_2' \approx 4.955 \times 10^6 \] 已发生损伤为： \[ D = \frac{10^4}{4.84 \times 10^6} + \frac{10^5}{4.955 \times 10^6} \approx 0.02226 \] 剩余损伤为 $1 - D = 0.97774$。 1. 当 $\sigma_3 = 420\,\text{MPa}$ 时，$N_3' \approx 4.93 \times 10^6$，剩余循环次数为： \[ n_3 = 0.97774 \times 4.93 \times 10^6 \approx 4.82 \times 10^6 \] 2. 当 $\sigma_3 = 350\,\text{MPa}$ 时，$N_3'' \approx 5.03 \times 10^6$，剩余循环次数为： \[ n_3 = 0.97774 \times 5.03 \times 10^6 \approx 4.92 \times 10^6 \] 最终结果： - $\sigma_3 = 420\,\text{MPa}$：约 $4.82 \times 10^6$ 次。 - $\sigma_3 = 350\,\text{MPa}$：约 $4.92 \times 10^6$ 次。

解析

本题考查材料材料疲劳寿命的计算，解题思路是先根据疲劳寿命方程求出不同应力下的疲劳寿命，再计算已发生的损伤，最后根据剩余损伤求出在新应力作用下试件还能循环的次数。

  1. 计算不同应力下的疲劳寿命：
    • 已知疲劳寿命方程为$\sigma_a N^m = C$，当$N = N_0$时，$\sigma_a=\sigma_{-1}$，则$C = \sigma_{-1}N_0^m$。
    • 对于$\sigma_1 = 500MPa$，将$C = \sigma_{-1}N_0^m}$代入疲劳寿命方程$\sigma_1 N_1'^m = C$，可得$N_1'^m=\frac{\sigma_{-1}N_0^m}{\sigma_1^m}$，即$N_1'1 = N_0(\frac{\sigma_{-1}}{\sigma_1})^m$。
    • 把$\sigma_{-1 = 370MPa$，$m = 9$，$N_0 = 5\times10^6$，$\sigma_1 = 500MPa$代入上式：
      $\begin{align*}N_1'1&=5\times10^6\times(\frac{370}{500})^9\\&=5\times10^6\times(0.74)^9\\&\approx5\times10^6\times0.0968\\&\approx4.84\times10^6\end{align*}$
    • 同理，对于$\sigma_2 = 400MPa$，$N_2' = N_0(\frac{\sigma_{-1}}{\sigma_2})^m$，代入数据可得：
      $\begin{align*}N_2'&=5\times10^6\times(\frac{370}{400})^9\\&=5\times10^6\times(0.925)^9\\&\approx5\times10^6\times0.991\\&\approx4.955\times10^6\end{align*}$
  2. 计算已发生的损伤：
    根据线性累积损伤理论，已发生损伤$D=\frac{N_1}{N_1'1}+\frac{N_2}{N_2'}$，将$N_1 = 10^4$，$N_1' \approx 4.84\times10^6$，$N_2 = 10^5$，\N_2' \approx 4.955\times10^6)代入可得：
    $\begin{align*}D&=\frac{10^4}{4.84\times10^6}+\frac{10^5}{4.955\times10^6}\\&=\frac{1}{484}+\frac{10}{495.5}\\&\approx0.002066 + 0.02018\\&\approx0.02226\end{align*}$
  3. 计算剩余损伤：
    剩余损伤为$1 - D = 1 - 0.02226 = 0.97774$。
  4. 计算不同新应力下的剩余循环次数：
    • 当$\sigma_3 = 420MPa$时，先求$N_3' = N_0(\frac{\sigma_{-1}}{\sigma_3})^m$，代入数据：
      $\begin{align*}N_3'&=5\times10^6\times(\frac{370}{420})^9\\&=5\times10^6\times(0.881)^9\\&\approx5\times10^6\times0.986\\&\approx4.93\times10^6\end{align*}$
      剩余循环次数$n_3 = (1 - D)N_3' = 0.97774\times4.93\times10^6\approx4.82\times10^6$次。
    • 当$\sigma_3 = 350MPa$时，$N_3'' = N_0(\frac{\sigma_{-1}}{\sigma_3})^m$，代入数据：
      $\begin{align*}N_3''&=5\times10^6\times(\frac{370}{350})^9\\&=5\times10^6\times(1.057)^9\\&\approx5\times10^6\times1.006\\&\approx5.03\times10^6\end{align*}$
      剩余循环次数$n_3 = (1 - D)N_3'' = 0.97774\times5.03\times10^6\approx4.92\times10^6$次。