题目

已知晶体原胞基矢为:overrightarrow ({a)_(1)}=dfrac (a)(2)overrightarrow (i)+dfrac (sqrt {3)a}(2)overrightarrow (j)overrightarrow ({a)_(1)}=dfrac (a)(2)overrightarrow (i)+dfrac (sqrt {3)a}(2)overrightarrow (j)overrightarrow ({a)_(1)}=dfrac (a)(2)overrightarrow (i)+dfrac (sqrt {3)a}(2)overrightarrow (j)(1)求倒格子基矢(2)倒格原胞体积(3)晶面(210)面间距

已知晶体原胞基矢为:

$\vec{a_1}=\frac{a}{2}\vec{i}+\frac{\sqrt{3}a}{2}\vec{j}$

$\vec{a_2}=-\frac{a}{2}\vec{i}+\frac{\sqrt{3}a}{2}\vec{j}$

$\vec{a_3}=c\vec{k}$

(1)求倒格子基矢

(2)倒格原胞体积

(3)晶面(210)面间距

题目解答

答案

1. 求倒格子基矢：

倒格子基矢的定义为： $\mathbf{b}_i=2\pi\frac{\mathbf{a}_j\times\mathbf{a}_k}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)}$ 通过计算，得到： $\mathbf{b}_1=-\frac{2\pi}{a}\mathbf{i}+\frac{2\pi}{\sqrt{3}a}\mathbf{j},$ $\mathbf{b}_2=\frac{2\pi}{a}\mathbf{i}+\frac{2\pi}{\sqrt{3}a}\mathbf{j},$ $\mathbf{b}_3=\frac{2\pi}{c}\mathbf{k}.$

2. 求倒格原胞体积：

倒格原胞体积为： $V^*=\frac{(2\pi)^3}{|\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)|}$ 代入 $|\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)|=\frac{\sqrt{3}a^2c}{2}$ ： $V^{ }=\frac{8\pi^3}{\sqrt{3}a^2c}$

3. 晶面 (210) 的面间距：

晶面间距公式为： $d_{hkl}=\frac{1}{\sqrt{h^2b_1^2+k^2b_2^2+l^2b_3^2}}$ 对于 (210) 晶面，h = 2, k = 1, l = 0，代入： $d_{210}=\frac{1}{\sqrt{2^2\left(\frac{2\pi}{a}\right)^2+1^2\left(\frac{2\pi}{\sqrt{3}a}\right)^2}}$ $=\frac{a}{2\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{3}}}$ $=\frac{a}{2\pi}\cdot\sqrt{\frac{3}{13}}.$

答案：

1. 倒格子基矢为： $\mathbf{b}_1=-\frac{2\pi}{a}\mathbf{i}+\frac{2\pi}{\sqrt{3}a}\mathbf{j},$ $\mathbf{b}_2=\frac{2\pi}{a}\mathbf{i}+\frac{2\pi}{\sqrt{3}a}\mathbf{j},$ $\mathbf{b}_3=\frac{2\pi}{c}\mathbf{k}.$

2. 倒格原胞体积为： $V^*=\frac{8\pi^3}{\sqrt{3}a^2c}.$

3. 晶面 (210) 的面间距为： $d_{210}=\frac{a}{2\pi}\cdot\sqrt{\frac{3}{13}}.$