题目

用板框压滤机过滤某悬浮液，恒压过滤 10 分钟，得滤液 10 mathrm(~m)^3。若过滤介质阻力忽略不计，求：(1) 过滤 1 小时后的滤液量；(2) 过滤 1 小时后的过滤速率 mathrm(d)V/mathrm(d)tau。

用板框压滤机过滤某悬浮液，恒压过滤 10 分钟，得滤液 $10 \mathrm{~m}^{3}$。若过滤介质阻力忽略不计，求：(1) 过滤 1 小时后的滤液量；(2) 过滤 1 小时后的过滤速率 $\mathrm{d}V/\mathrm{d}\tau$。

题目解答

答案

根据恒压过滤方程 $ V^2 = K t $，由 $ V = 10 \, \text{m}^3 $、$ t = 10 \, \text{min} $ 可得 $ K = 10 $。 1. 当 $ t = 60 \, \text{min} $ 时，$ V = \sqrt{10 \times 60} = 10\sqrt{6} \, \text{m}^3 $。 2. 过滤速率 $ \frac{dV}{dt} = \frac{K}{2V} = \frac{10}{2 \times 10\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12} \, \text{m}^3/\text{min} $。 答案： 1. 过滤1小时后的滤液量为 $ 10\sqrt{6} \, \text{m}^3 $。 2. 过滤1小时后的过滤速率为 $ \frac{\sqrt{6}}{12} \, \text{m}^3/\text{min} $。

解析

本题考查恒压过滤过程的相关计算，解题的关键在于理解恒压过滤方程以及过滤速率的计算公式，并根据已知条件进行逐步推导计算。

  1. 确定恒压过滤方程：
    • 当过滤介质阻力忽略不计时，恒压过滤方程为$V^{2}=K\tau$，其中$V$为滤液体积，$\tau$为过滤时间，$K$为过滤常数。
  2. 计算过滤常数$K$：
    • 已知恒压过滤$\tau_1 = 10$分钟时，得滤液$V_1 = 10\mathrm{~m}^{3}$。
    • 将$V_1 = 10\mathrm{~m}^{3}$，$\tau_1 = 10$分钟代入恒压过滤方程$V^{2}=K\tau$，可得$K=\frac{V_1^{2}}{\tau_1}$。
    • 计算$K$的值：$K=\frac{10^{2}}{10}=10\mathrm{~m}^{6}/\mathrm{min}^{2}$。
  3. 计算过滤$1$小时（$60$分钟）后的滤液量$V_2$：
    • 当过滤时间$\tau_2 = 60$分钟时，再次使用恒压过滤方程$V^{2}=K\tau$，此时$V = V_2$，$\tau=\tau_2$，则$V_2^{2}=K\tau_2$。
    • 所以$V_2=\sqrt{K\tau_2}$，将$K = 10\mathrm{~m}^{6}/\mathrm{min}^{2}$，$\tau_2 = 60$分钟代入可得：$V_2=\sqrt{10\times60}=\sqrt{600}=10\sqrt{6}\mathrm{~m}^{3}$。
  4. 计算过滤$1$小时（$60$分钟）后的过滤速率$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}\tau}$：
    • 对恒压过滤方程$V^{2}=K\tau$两边同时对$\tau$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$2V\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}\tau}=K$。
    • 则过滤速率$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}\tau}=\frac{K}{2V}$。
    • 当$\tau_2 = 60$分钟时，$V = V_2 = 10\sqrt{6}\mathrm{~m}^{3}$，$K = 10\mathrm{~m}^{6}/\mathrm{min}^{2}$，代入可得：$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}\tau}=\frac{10}{2\times10\sqrt{6}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}$。
    • 对$\frac{1}{2\sqrt{6}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}$，得到$\frac{\sqrt{6}}{2\times6}=\frac{\sqrt{6}}{12}\mathrm{~m}^{3}/\mathrm{min}$。