题目
【题目】试求图示各应力状态的主应力及最大切应力(应力单位为MPa)。204012050503030(a)(b)(c)
【题目】试求图示各应力状态的主应力及最大切应力(应力单位为MPa)。204012050503030(a)(b)(c)
题目解答
答案
【解析】【思路探索】因为主平面上无切应力,所以三向应力状态可转换成二向应力状态下求主应力的问题20505012050303030(a)(b)(c)解:图(a)a =0,σ_y= 0, r_(2y)=50MP a σ_x=50MPs 是主应力&a_7=0&a_(n+1)|=(a_1+a_2)/2±√(((a_2-a_2)/2)^2+3/2)=[0±√( 主应力 σ_1=σ_2=50MPa,σ_3=-50MP a最大切 T_(mxx)=(σ_1-σ_1)/2=(50+50)/2MPa=50MPa 0图(b):o= 30MPa,σ_y=-20MPa,r_(xy)=40 MPa,o,=50 MPa是主应力。(σ_Pω_B)/(σ_(sin))=(a_n+σ_3)/2±√(((a_1-σ_2)^2+(3/2)^2)/=[ rac MPa-52.2;-42.2.MPa 主应力1=52.2 MPa,σ_2=50MPa,σ_3=-42 2 MPa最大切 T_(rax)=(σ_1-σ_1)/2=(52.2+42.2)/2MPa=47.2MPa M图(c), σ_x=120MPa =120MPa,σ_y=40 MPa ∵E_(Xy)=-30MPa,σ =-30 MPa是主应力。&a_(n+1)=(a_n+a_3)/2±√(((a_1-a_2)/2)^2+c_1^2)=[(120+40)/2±√ +(-30)2MParain=130;30.MPa 主应力 σ_1=130MPa , σ_2=30M Pa σ_3=-30MPa最大切应力T_(max)=(σ_1-σ_3)/2=(130+30)/2MPa=80MPa
解析
步骤 1：确定应力状态
对于每个应力状态，我们首先确定其应力分量。应力状态可以表示为一个应力张量，其中包含正应力和切应力。对于平面应力状态，我们只需要考虑两个正应力分量和一个切应力分量。
步骤 2：计算主应力
主应力是应力张量的特征值，可以通过求解特征方程来获得。对于平面应力状态，特征方程为：
\[ \sigma^3 - I_1 \sigma^2 + I_2 \sigma - I_3 = 0 \]
其中，\( I_1 \)、\( I_2 \)、\( I_3 \)分别是应力张量的三个不变量。对于平面应力状态，\( I_1 = \sigma_x + \sigma_y \)，\( I_2 = \sigma_x \sigma_y - \tau_{xy}^2 \)，\( I_3 = 0 \)。
步骤 3：计算最大切应力
最大切应力可以通过主应力来计算，公式为：
\[ \tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \]
其中，\( \sigma_1 \)和\( \sigma_3 \)分别是最大和最小的主应力。
对于每个应力状态，我们首先确定其应力分量。应力状态可以表示为一个应力张量，其中包含正应力和切应力。对于平面应力状态，我们只需要考虑两个正应力分量和一个切应力分量。
步骤 2：计算主应力
主应力是应力张量的特征值，可以通过求解特征方程来获得。对于平面应力状态，特征方程为：
\[ \sigma^3 - I_1 \sigma^2 + I_2 \sigma - I_3 = 0 \]
其中，\( I_1 \)、\( I_2 \)、\( I_3 \)分别是应力张量的三个不变量。对于平面应力状态，\( I_1 = \sigma_x + \sigma_y \)，\( I_2 = \sigma_x \sigma_y - \tau_{xy}^2 \)，\( I_3 = 0 \)。
步骤 3：计算最大切应力
最大切应力可以通过主应力来计算，公式为：
\[ \tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \]
其中，\( \sigma_1 \)和\( \sigma_3 \)分别是最大和最小的主应力。