题目
平面正三角形晶格，相邻原子间距是a。试求正格子基矢和倒格子基矢，并画出第一布里渊区。
平面正三角形晶格，相邻原子间距是a。试求正格子基矢和倒格子基矢，并画出第一布里渊区。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定正格子基矢
在平面正三角形晶格中，正格子基矢可以表示为两个向量，它们的长度为a，且夹角为120度。因此，我们可以选择两个基矢如下：
${a}_{1}=ai$
${a}_{2}=\dfrac {a}{2}i+\dfrac {\sqrt {3}}{2}aj$
步骤 2：确定倒格子基矢
倒格子基矢可以通过正格子基矢的叉乘和点乘来计算。对于二维晶格，我们只需要计算两个倒格子基矢。倒格子基矢的定义为：
${b}_{1}=\dfrac {2\pi}{{a}_{1}\cdot({a}_{2}\times k)}{a}_{2}\times k$
${b}_{2}=\dfrac {2\pi}{{a}_{1}\cdot({a}_{2}\times k)}{a}_{1}\times k$
其中，k是垂直于晶格平面的单位向量。由于晶格是二维的，我们可以将k视为单位向量k。因此，我们可以计算出倒格子基矢：
${b}_{1}=\dfrac {2\pi}{{a}_{1}\cdot({a}_{2}\times k)}{a}_{2}\times k = \dfrac {2\pi}{a^2}(-\dfrac {\sqrt {3}}{2}i+\dfrac {1}{2}j)$
${b}_{2}=\dfrac {2\pi}{{a}_{1}\cdot({a}_{2}\times k)}{a}_{1}\times k = \dfrac {2\pi}{a^2}(\dfrac {\sqrt {3}}{2}i+\dfrac {1}{2}j)$
步骤 3：画出第一布里渊区
第一布里渊区是由倒格子基矢的垂直平分面所夹的区域。在二维晶格中，第一布里渊区是一个正六边形，其顶点由倒格子基矢的垂直平分线所确定。因此，第一布里渊区由以下向量的垂直平分线所围成：
${b}_{1}$, $-{b}_{1}$, ${b}_{2}$, $-{b}_{2}$, ${b}_{1}+{b}_{2}$, $-{b}_{1}-{b}_{2}$
在平面正三角形晶格中，正格子基矢可以表示为两个向量，它们的长度为a，且夹角为120度。因此，我们可以选择两个基矢如下：
${a}_{1}=ai$
${a}_{2}=\dfrac {a}{2}i+\dfrac {\sqrt {3}}{2}aj$
步骤 2：确定倒格子基矢
倒格子基矢可以通过正格子基矢的叉乘和点乘来计算。对于二维晶格，我们只需要计算两个倒格子基矢。倒格子基矢的定义为：
${b}_{1}=\dfrac {2\pi}{{a}_{1}\cdot({a}_{2}\times k)}{a}_{2}\times k$
${b}_{2}=\dfrac {2\pi}{{a}_{1}\cdot({a}_{2}\times k)}{a}_{1}\times k$
其中，k是垂直于晶格平面的单位向量。由于晶格是二维的，我们可以将k视为单位向量k。因此，我们可以计算出倒格子基矢：
${b}_{1}=\dfrac {2\pi}{{a}_{1}\cdot({a}_{2}\times k)}{a}_{2}\times k = \dfrac {2\pi}{a^2}(-\dfrac {\sqrt {3}}{2}i+\dfrac {1}{2}j)$
${b}_{2}=\dfrac {2\pi}{{a}_{1}\cdot({a}_{2}\times k)}{a}_{1}\times k = \dfrac {2\pi}{a^2}(\dfrac {\sqrt {3}}{2}i+\dfrac {1}{2}j)$
步骤 3：画出第一布里渊区
第一布里渊区是由倒格子基矢的垂直平分面所夹的区域。在二维晶格中，第一布里渊区是一个正六边形，其顶点由倒格子基矢的垂直平分线所确定。因此，第一布里渊区由以下向量的垂直平分线所围成：
${b}_{1}$, $-{b}_{1}$, ${b}_{2}$, $-{b}_{2}$, ${b}_{1}+{b}_{2}$, $-{b}_{1}-{b}_{2}$