低碳钢做成的 d_0 = 10 , (mm) 的圆形短试样经拉伸试验，得到以下数据：F_e = 21000 , (N), F_m = 35000 , (N), l_u = 65 , (mm), d_u = 6 , (mm)。试求低碳钢的 R_({el)}, R_({m)}, A, Z。

本题主要考察材料力学中低碳钢拉伸试验相关性能指标的计算，包括屈服强度 $R_{\text{el}}$、抗拉强度 $R_{\text{m}}$、伸长率 $A$ 和断面收缩率 $Z$。解题思路是根据各性能指标的定义公式，结合题目所给的原始数据进行逐步计算。

1. 计算原始横截面积 $S_0$

对于圆形截面，其面积公式为 $S = \frac{\pi d^2}{4}$，其中 $d$ 为圆的直径。已知原始直径 $d_0 = 10 \, \text{mm}$，则原始横截面积为：
$S_0 = \frac{\pi d_0^2}{4} = \frac{\pi \times 10^2}{4} = 25\pi \approx 78.54 \, \text{mm}^2$

2. 计算屈服强度 $R_{\text{el}}$

屈服强度的定义是材料开始产生明显塑性变形时的应力，计算公式为 $R_{\text{el}} = \frac{F_e}{S_0}$，其中 $F_e$ 为屈服载荷。已知 $F_e = 21000 \, \text{N}$，$S_0 \approx 78.54 \, \text{mm}^2$，则：
$R_{\text{el}} = \frac{F_e}{S_0} = \frac{21000}{78.54} \approx 267 \, \text{MPa}$

3. 计算抗拉强度 $R_{\text{m}}$

抗拉强度是材料在拉伸过程中所能承受的最大应力，计算公式为 $R_{\text{m}} = \frac{F_m}{S_0}$，其中 $F_m$ 为最大载荷。已知 $F_m = 35000 \, \text{N}$，$S_0 \approx 78.54 \, \text{mm}^2$，则：
$R_{\text{m}} = \frac{F_m}{S_0} = \frac{35000}{78.54} \approx 446 \, \text{MPa}$

4. 计算伸长率 $A$

伸长率是指材料在拉伸断裂后，标距段的总变形与原标距长度之比，计算公式为 $A = \frac{l_u - l_0}{l_0} \times 100\%$，其中 $l_u$ 为断裂后标距段的总长度，$l_0$ 为原始标距长度。对于短试样，通常 $l_0 = 5d_0 = 5 \times 10 = 50 \, \text{mm}$，已知 $l_u = 65 \, \text{mm}$，则：
$A = \frac{l_u - l_0}{l_0} \times 100\% = \frac{65 - 50}{50} \times 100\% = \frac{15}{50} \times 100\% = 30\%$

5. 计算断面收缩率 $Z$

断面收缩率是指材料在拉伸断裂后，断面缩小面积与原断面面积之比，计算公式为 $Z = \frac{S_0 - S_u}{S_0} \times 100\%$，其中 $S_u$ 为断裂后最小横截面积。已知断裂后直径 $d_u = 6 \, \text{mm}$，则断裂后最小横截面积为：
$S_u = \frac{\pi d_u^2}{4} = \frac{\pi \times 6^2}{4} = 9\pi \approx 28.274 \, \text{mm}^2$
将 $S_0 \approx 78.54 \, \text{mm}^2$，$S_u \approx 28.274 \, \text{mm}^2$ 代入断面收缩率公式，可得：
$Z = \frac{S_0 - S_u}{S_0} \times 100\% = \frac{78.54 - 28.274}{78.54} \times 100\% \approx 64\%$