在 293 K 时，把半径为 1.0 mm 的水滴分散成半径为 1.0μm 的小水滴，试计算(已知 293 K 时水的表面 Gibbs 自由能为 0.07288 J⋅m−2)。表面积是原来的多少倍。表面 Gibbs 自由能增加了多少。完成该变化时，环境至少需做多少功。

考查要点：本题主要考查液体分散后表面积变化、表面Gibbs自由能的计算，以及环境做功的理解。
解题核心思路：

1. 表面积变化：利用球体表面积公式，结合体积守恒确定小水滴数量，计算总表面积与原表面积的比值。
2. 表面Gibbs自由能变化：通过总表面积与原表面积的差值，乘以表面能系数计算增量。
3. 环境做功：根据热力学原理，环境至少需做功等于表面Gibbs自由能的增加量。

破题关键点：

• 体积守恒：分散后小水滴的总体积等于原水滴体积。
• 表面积与半径的关系：表面积与半径平方成正比，总表面积需考虑所有小水滴的表面积之和。

(1) 表面积是原来的多少倍

1. 原水滴半径：$R = 1.0 \, \text{mm} = 1.0 \times 10^{-3} \, \text{m}$
   小水滴半径：$r = 1.0 \, \mu\text{m} = 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}$
2. 体积守恒：
   原水滴体积 $V_{\text{原}} = \frac{4}{3}\pi R^3$，每个小水滴体积 $V_{\text{小}} = \frac{4}{3}\pi r^3$，
   小水滴数量 $N = \frac{V_{\text{原}}}{V_{\text{小}}} = \left(\frac{R}{r}\right)^3 = \left(\frac{1.0 \times 10^{-3}}{1.0 \times 10^{-6}}\right)^3 = 10^9$。
3. 总表面积计算：
   原表面积 $S_{\text{原}} = 4\pi R^2$，每个小水滴表面积 $S_{\text{小}} = 4\pi r^2$，
   总表面积 $S_{\text{总}} = N \cdot S_{\text{小}} = 10^9 \cdot 4\pi (1.0 \times 10^{-6})^2 = 4\pi (1.0 \times 10^{-3})^2 \cdot 10^3 = 1000 \cdot S_{\text{原}}$。
   结论：表面积是原来的 1000倍。

(2) 表面Gibbs自由能增加了多少

1. 表面Gibbs自由能公式：$\Delta G = (\text{总表面积} - \text{原表面积}) \cdot \gamma$
   代入数据：
   $\Delta G = (1000 \cdot 4\pi R^2 - 4\pi R^2) \cdot 0.07288 = 999 \cdot 4\pi (1.0 \times 10^{-3})^2 \cdot 0.07288$
2. 计算：
   $4\pi (1.0 \times 10^{-3})^2 \approx 1.2566 \times 10^{-5} \, \text{m}^2$，
   $\Delta G \approx 999 \cdot 1.2566 \times 10^{-5} \cdot 0.07288 \approx 9.15 \times 10^{-4} \, \text{J}$。
   结论：表面Gibbs自由能增加了 $9.15 \times 10^{-4} \, \text{J}$。

(3) 环境至少需做多少功

热力学原理：环境需做功等于表面Gibbs自由能的增加量，即 $\Delta G = 9.15 \times 10^{-4} \, \text{J}$。
结论：环境至少需做 $9.15 \times 10^{-4} \, \text{J}$ 的功。