用泵将贮槽中的稀碱液送到蒸发器中进行浓缩。泵的进口管为Phi 89 times 3.5 (mm)的钢管，碱液在进口管的流速为1.5 (m/s)，泵的出口管为Phi 76 times 2.5 (mm)的钢管。贮槽中碱液的液面距蒸发器入口处的垂直距离为7 (m)，碱液经管路系统的能量损失为40 (J/kg)，蒸发器内碱液蒸发压力保持在0.2 (kgf/cm)^2（表压），碱液的密度为1100 (kg/m)^3。试计算所需的外加能量。

考查要点：本题主要考查伯努利方程在泵送系统中的应用，涉及流体机械能的转换与能量损失计算。

解题核心思路：

1. 确定能量平衡关系：根据伯努利方程，泵提供的能量需补偿系统中压力能、动能、位能的变化及能量损失。
2. 计算关键参数：包括出口流速（连续性方程）、各能量项（压力头、动能头、位能差、能量损失）。
3. 单位统一与转换：注意压力单位（kgf/cm²→Pa）、能量单位（J/kg→m液柱）的转换。

破题关键点：

• 连续性方程：通过管道直径变化计算出口流速。
• 伯努利方程修正：考虑管路能量损失，方程形式为：
  $h_s = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{u_2^2}{2g} + (z_2 - z_1) + h_f - \frac{u_1^2}{2g}$

1. 计算出口流速 $u_2$

根据连续性方程 $A_1 u_1 = A_2 u_2$：

• 进口管内径：$d_1 = 89 - 2 \times 3.5 = 82 \, \text{mm} = 0.082 \, \text{m}$
  面积 $A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (0.082)^2}{4} \approx 0.00545 \, \text{m}^2$
• 出口管内径：$d_2 = 76 - 2 \times 2.5 = 71 \, \text{mm} = 0.071 \, \text{m}$
  面积 $A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (0.071)^2}{4} \approx 0.00398 \, \text{m}^2$
• 出口流速：
  $u_2 = u_1 \cdot \frac{A_1}{A_2} = 1.5 \cdot \frac{0.00545}{0.00398} \approx 2.0 \, \text{m/s}$

2. 代入伯努利方程

$h_s = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{u_2^2}{2g} + (z_2 - z_1) + h_f - \frac{u_1^2}{2g}$

• 压力头：
  $\frac{p_2}{\rho g} = \frac{19620}{1100 \times 9.81} \approx 1.818 \, \text{m}$
• 出口动能头：
  $\frac{u_2^2}{2g} = \frac{2^2}{2 \times 9.81} \approx 0.204 \, \text{m}$
• 位能差：
  $z_2 - z_1 = 7 \, \text{m}$
• 能量损失：
  $h_f = \frac{40}{9.81} \approx 4.077 \, \text{m}$
• 进口动能头：
  $\frac{u_1^2}{2g} = \frac{1.5^2}{2 \times 9.81} \approx 0.1147 \, \text{m}$

3. 计算总能量头 $h_s$

$h_s = 1.818 + 0.204 + 7 + 4.077 - 0.1147 \approx 12.984 \, \text{m}$

4. 计算外加能量 $w_s$

$w_s = h_s \cdot g = 12.984 \times 9.81 \approx 127.4 \, \text{J/kg}$