第二章 拉伸、压缩与剪切例2-1 试画出图a直杆的轴力图解:此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力。先求AB段轴力。在段内任一截面1-1处将杆件截开,考察左段(图2-5b)。在截面上设出正轴力N1。 由此段的平衡方程X=0得N1-6=0, N1=+6kNN1得正号说明原先假设拉力是正确的,同时也就表明轴力是正的。AB段内任一截面的轴力都等于+6kN。 再求BC段轴力,在BC段任一截面2-2处将杆件截开,仍考察左段(图2-5c),在截面上仍设正的轴力N 2,由X=0得-6+18+N2=0N2=-12kNN2得负号说明原先假设拉力是不对的(应为压力),同时又表明轴力N2是负的。BC段内任一截面的轴力都等于-12kN。同理得CD段内任一截面的轴力都是-4kN。画内力图,以水平轴x表示杆的截面位置,以垂直x的坐标轴表示截面的轴力,按选定的比例尺画出轴力图,如图2-5(d)所示。由此图可知数值最大的轴力发生在BC段内。解题指导:利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力N ,然后由X=0求出轴力N ,如N 得正说明是正轴力(拉力),如得负则说明是负轴力(压力)。例2-2 试求自由悬挂的直杆(图2-6a)由纵向均匀分布荷载q(力/长度)引起的应力和纵向变形。设杆长l、截面积A及弹性模量E均已知。解:在杆上距下端为x处取一任意横截面m-m,则该截面轴力为N(x)=qx,根据此式可作出轴力图如图2-6b所示。m-m截面的应力为(x)=N(x)/A=qx/A。显然,悬挂端有最大轴力Nmax=ql及最大正应力 sigma max =91/A。求杆纵向变形,由于各横截面上轴力不等,不能直接应用公式(2-4),而应从长为dx的微段出发。在x处取微段dx,其纵向伸长可写为sigma max =91/A杆件的总伸长sigma max =91/A研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时,杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力,此时单位杆长的分布力q=A1,此处是材料单位体积的重量即容重。将q代入上式得到边界条件:vA=0, A=0,vB=0,连续条件:vD1=yD2, D1= D2,vC2=yC3。 解题指导:(1)在荷载突变处、中间约束处、截面变化处(惯性矩I突变处)及材料变化处(弹性模量E值突变处)均应作为分段积分的分段点。(2)中间铰链连接了两根梁,也应作为分段点。(3)各分段点处都应列出连续条件,中间铰链只限制了两梁在该点的相对位移,不能限制转动,故只有一个挠度连续条件。例6.2 变截面简支梁受到集中力P的作用,如图8-3(a)所示,试用叠加法计算梁自由端B处的挠度v和转角 。解:由于梁在C截面处截面尺寸发生变化,须分两段计算变形,再进行叠加。首先将梁沿截面变化处C截开,把CB段梁暂时看作是在C处固支的悬臂梁(图8-3(b)),利用材料力学教材上的典型梁变形表可得B点位移:( ),(↓)再求AC段C截面位移。将外力P向C点平移,C点受两个外力:集中力P和集中力偶Pl/2。查表可得注意梁CB段的C截面是固定在梁AC段的C截面上,AC段C截面的位移必然会牵动CB段,因此将梁CB段下移v,再使整个CB段转动角,则CB段即与图8-3(c)的AC段衔接而得到整个梁的变形,如图8-3(d)。在此拼合过程中B点又获得额外的转角和挠度v,由图8-10c可知于是B端的挠度和转角为sigma max =91/A解题指导:此例题设所给出的结构无法由手册或表格中查到,因此对结构进行了分解,将其等效化处理为可查表结构,然后再对结构叠加。叠加原理,即可以用于荷载的叠加,也可以用于结构的叠加。sigma max =91/A例6.5 试解图8-6所示的超静定梁。解:(1)选择静定基以B点约束作为多余约束,将其除去,代之以约束反力R,称之为静定基,如图8-6(b)。(2) 变形协调条件多余约束B处梁的挠度应有: v=0,(3)利用叠加法求vB 。对应图8-6(b)应有:vB+v=0 (a)查表得(↓),(↑)将v、v代入式(a)sigma max =91/A解出 sigma max =91/A解题指导:用变形比较法求解超静定梁,可以选择不同的静定基,以便于求解为准。例如此例也可以选择A端的转角约束作为多余约束,其静定基如图8-7所示。sigma max =91/A此处G=Al是整个杆的重量。上式表明等直杆自重引起的总伸长等于全部重量集中于下端时伸长的一半。解题指导:对于轴力为变数的杆,利用虎克定律计算杆件轴向变形时,应分段计算变形,然后代数相加得全杆变形,当轴力是连续函数时则需利用积分求杆变形。例2-3 图2-7所示两根圆截面杆材料相同,试计算两杆的应变能,并比较其大小。解:a杆: b杆:两杆应变能之比: sigma max =91/A解题指导:从本例可看出,在受力相同的情况下,刚度小的杆件应变能大。例2-4平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB如图2-8a所示。在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同,分别为A、l、E。试求三根杆的轴力N、N、N。-解:设在荷载G作用下,横梁移动到AB位置(图2-8b),则杆1的缩短量为l,而杆2、3的伸长量为l、l。取横梁AB为分离体,如图2-8c,其上除荷载G外,还有轴力N、N、N以及X。由于假设1杆缩短,2、3杆伸长,故应将N设为压力,而N、N设为拉力。(1) 平衡方程A. B. 三个平衡方程中包含四个未知力,故为一次超静定问题。 C. 可看出B1B=2 D. 1C,即sigma max =91/A, E. 或 F. sigma max =91/A G. (3) 物理方程sigma max =91/A 式联立求解,可得sigma max =91/A解题指导:在解超静定问题中:假定各杆的轴力是拉力、还是压力,要以变形关系图中各杆是伸长还是缩短为依据,两者之间必须一致。经计算三杆的轴力均为正,说明正如变形关系图中所设,杆2、3伸长,而杆1缩短。 例题及解题指导,已知许可切应力[]和拉伸许可应力[]之间的关系为:[]=0.6[],许可挤压应力[bs]和拉伸许可应力[]之间的关系为:[bs]=2[]。试建立D,d,t三者间的合理比值。解:(1) 螺钉的拉伸强度sigma max =91/Asigma max =91/Asigma max =91/A(2) 螺帽的挤压强度sigma max =91/Asigma max =91/Asigma max =91/A(3) 螺帽的剪切强度sigma max =91/Asigma max =91/A: d : t = 1.225: 1 : 0.415解题指导:注意此题的剪切面、挤压面。,铆钉间距为a,F=80kN,距离l=3a。已知铆钉直径d=20mm,许可切应力[]=130MPa,试校核铆钉剪切强度。所示,图中只示出1、2、8三个铆钉沿负y方向的剪力F/8。力偶Fl在每一铆钉中也引起剪力,假设剪力方向与该铆钉中心至C的连线正交,而大小与连线长度成正比。图3-7(b)示出Fl引起的铆钉剪力;铆钉1、3、5、7的剪力都是Q1;2、4、6、8的剪力都是Q2。诸铆钉的剪力对C之矩之和等于Fl,即sigma max =91/A再利用sigma max =91/A,代入上式得sigma max =91/AQ2=F/8+F/4=3F/8。铆钉1的总剪力是sigma max =91/A所以铆钉1、3受力最为危险,故MPa<[]解题指导:在对铆钉群构成的连接件进行剪切强度计算时,要正确分析每个铆钉的受力。当外力通过铆钉群中心时,可以近似看作每个铆钉受力相同。当外力不通过铆钉形心时则应根据实际受力情况分析铆钉受力。

第二章 拉伸、压缩与剪切

例2-1 试画出图a直杆的轴力图

解:此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力。先求AB段轴力。在段内任一截面1-1处将杆件截开,考察左段(图2-5b)。在截面上设出正轴力N1。 由此段的平衡方程X=0得

N1-6=0, N1=+6kN

N1得正号说明原先假设拉力是正确的,同时也就表明轴力是正的。AB段内任一截面的轴力都等于+6kN。 再求BC段轴力,在BC段任一截面2-2处将杆件截开,仍考察左段(图2-5c),在截面上仍设正的轴力N 2,由X=0得

-6+18+N2=0

N2=-12kN

N2得负号说明原先假设拉力是不对的(应为压力),同时又表明轴力N2是负的。BC段内任一截面的轴力都等于-12kN。同理得CD段内任一截面的轴力都是-4kN。

画内力图,以水平轴x表示杆的截面位置,以垂直x的坐标轴表示截面的轴力,按选定的比例尺画出轴力图,如图2-5(d)所示。由此图可知数值最大的轴力发生在BC段内。

解题指导:利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力N ,然后由X=0求出轴力N ,如N 得正说明是正轴力(拉力),如得负则说明是负轴力(压力)。

例2-2 试求自由悬挂的直杆(图2-6a)由纵向均匀分布荷载q(力/长度)引起的应力和纵向变形。设杆长l、截面积A及弹性模量E均已知。

解:在杆上距下端为x处取一任意横截面m-m,则该截面轴力为N(x)=qx,根据此式可作出轴力图如图2-6b所示。m-m截面的应力为(x)=N(x)/A=qx/A。显然,悬挂端有最大轴力Nmax=ql及最大正应力 。

求杆纵向变形,由于各横截面上轴力不等,不能直接应用公式(2-4),而应从长为dx的微段出发。在x处取微段dx,其纵向伸长可写为

杆件的总伸长

研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时,杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力,此时单位杆长的分布力q=A1,此处是材料单位体积的重量即容重。将q代入上式得到

边界条件:vA=0, A=0,vB=0,

连续条件:vD1=yD2, D1= D2,vC2=yC3。

解题指导:(1)在荷载突变处、中间约束处、截面变化处(惯性矩I突变处)及材料变化处(弹性模量E值突变处)均应作为分段积分的分段点。

(2)中间铰链连接了两根梁,也应作为分段点。

(3)各分段点处都应列出连续条件,中间铰链只限制了两梁在该点的相对位移,不能限制转动,故只有一个挠度连续条件。

例6.2 变截面简支梁受到集中力P的作用,如图8-3(a)所示,试用叠加法计算梁自由端B处的挠度v和转角 。

解:由于梁在C截面处截面尺寸发生变化,须分两段计算变形,再进行叠加。首先将梁沿截面变化处C截开,把CB段梁暂时看作是在C处固支的悬臂梁(图8-3(b)),利用材料力学教材上的典型梁变形表可得B点位移:

( ),

(↓)

再求AC段C截面位移。将外力P向C点

平移,C点受两个外力:集中力P和集中力

偶Pl/2。查表可得

注意梁CB段的C截面是固定在梁AC段的

C截面上,AC段C截面的位移必然会牵动

CB段,因此将梁CB段下移v,再使整个CB段转动角,则CB段即与图8-3(c)的AC段衔接而得到整个梁的变形,如图8-3(d)。在此拼合过程中B点又获得额外的转角和挠度v,由图8-10c可知

于是B端的挠度和转角为

解题指导:此例题设所给出的结构无法由手册或表格中查到,因此对结构进行了分解,将其等效化处理为可查表结构,然后再对结构叠加。叠加原理,即可以用于荷载的叠加,也可以用于结构的叠加。

例6.5 试解图8-6所示的超静定梁。

解:(1)选择静定基

以B点约束作为多余约束,将其除去,代之以约束反力R,称之为静定基,如图8-6(b)。

(2) 变形协调条件

多余约束B处梁的挠度应有: v=0,

(3)利用叠加法求vB 。

对应图8-6(b)应有:

vB+v=0 (a)

查表得

(↓),

(↑)

将v、v代入式(a)

解出

解题指导:用变形比较法求解超静定梁,可以选择不同的静定基,以便于求解为准。例如此例也可以选择A端的转角约束作为多余约束,其静定基如图8-7所示。

此处G=Al是整个杆的重量。上式表明等直杆自重引起的总伸长等于全部重量集中于下端时伸长的一半。

解题指导:对于轴力为变数的杆,利用虎克定律计算杆件轴向变形时,应分段计算变形,然后代数相加得全杆变形,当轴力是连续函数时则需利用积分求杆变形。

例2-3 图2-7所示两根圆截面杆材料相同,试计算两杆的应变能,并比较其大小。

解:a杆:

b杆:

两杆应变能之比:

解题指导:从本例可看出,在受力相同的情况下,刚度小的杆件应变能大。

例2-4平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB如图2-8a所示。在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同,分别为A、l、E。试求三根杆的轴力N、N、N。-

解:设在荷载G作用下,横梁移动到AB位置(图2-8b),则杆1的缩短量为l,而杆2、3的伸长量为l、l。取横梁AB为分离体,如图2-8c,其上除荷载G外,还有轴力N、N、N以及X。由于假设1杆缩短,2、3杆伸长,故应将N设为压力,而N、N设为拉力。

(1) 平衡方程

A.
B. 三个平衡方程中包含四个未知力,故为一次超静定问题。
C. 可看出B1B=2
D. 1C,即,
E. 或
F.
G. (3) 物理方程

 
式联立求解,可得

解题指导:在解超静定问题中:假定各杆的轴力是拉力、还是压力,要以变形关系图中各杆是伸长还是缩短为依据,两者之间必须一致。经计算三杆的轴力均为正,说明正如变形关系图中所设,杆2、3伸长,而杆1缩短。
 
例题及解题指导
,已知许可切应力[]和拉伸许可应力[]之间的关系为:[]=0.6[],许可挤压应力[bs]和拉伸许可应力[]之间的关系为:[bs]=2[]。试建立D,d,t三者间的合理比值。
解:(1) 螺钉的拉伸强度



(2) 螺帽的挤压强度



(3) 螺帽的剪切强度


: d : t = 1.225: 1 : 0.415
解题指导:注意此题的剪切面、挤压面。
,铆钉间距为a,F=80kN,距离l=3a。已知铆钉直径d=20mm,许可切应力[]=130MPa,试校核铆钉剪切强度。
所示,图中只示出1、2、8三个铆钉沿负y方向的剪力F/8。力偶Fl在每一铆钉中也引起剪力,假设剪力方向与该铆钉中心至C的连线正交,而大小与连线长度成正比。图3-7(b)示出Fl引起的铆钉剪力;铆钉1、3、5、7的剪力都是Q1;2、4、6、8的剪力都是Q2。诸铆钉的剪力对C之矩之和等于Fl,即

再利用,代入上式得

Q2=F/8+F/4=3F/8。铆钉1的总剪力是

所以铆钉1、3受力最为危险,故
MPa<[]
解题指导:在对铆钉群构成的连接件进行剪切强度计算时,要正确分析每个铆钉的受力。当外力通过铆钉群中心时,可以近似看作每个铆钉受力相同。当外力不通过铆钉形心时则应根据实际受力情况分析铆钉受力。