三、(14分)求图示单元体的主应力、最大剪应力,并在单元体上标出主应力的方位。

步骤 1：确定应力分量
根据题目给出的单元体，可以确定应力分量为：σx = -20MPa，σy = 30MPa，τxy = -20MPa。

步骤 2：计算主应力
主应力的计算公式为：
\[
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}
\]
代入已知的应力分量：
\[
\sigma_{1,2} = \frac{-20 + 30}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{(-20 - 30)^2 + 4(-20)^2}
\]
\[
\sigma_{1,2} = 5 \pm \frac{1}{2} \sqrt{2500 + 1600}
\]
\[
\sigma_{1,2} = 5 \pm \frac{1}{2} \sqrt{4100}
\]
\[
\sigma_{1,2} = 5 \pm \frac{1}{2} \times 64
\]
\[
\sigma_{1,2} = 5 \pm 32
\]
因此，主应力为：
\[
\sigma_1 = 37MPa, \sigma_2 = -27MPa
\]

步骤 3：计算主应力方向
主应力方向的计算公式为：
\[
\tan 2\alpha_0 = -\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}
\]
代入已知的应力分量：
\[
\tan 2\alpha_0 = -\frac{2(-20)}{-20 - 30} = \frac{40}{-50} = -\frac{4}{5}
\]
\[
2\alpha_0 = \tan^{-1}(-\frac{4}{5})
\]
\[
2\alpha_0 = -38.66^\circ
\]
\[
\alpha_0 = -19.33^\circ
\]
因此，主应力方向为：
\[
\alpha_0 = -19.33^\circ
\]

步骤 4：计算最大剪应力
最大剪应力的计算公式为：
\[
\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}
\]
代入已知的主应力：
\[
\tau_{max} = \frac{37 - (-27)}{2} = \frac{64}{2} = 32MPa
\]