题目

在一套管换热器中，用冷却水将 0.45 , (kg) cdot (s)^-1 的苯由 350 , (K) 冷却至 300 , (K)，冷却水在 #25 , (mm) times 2.5 , (mm) 的内管中流动，其进、出口温度分别为 290 , (K) 和 320 , (K)。已知水和苯的给热系数分别为 4.85 , (kW) cdot (m)^-2 cdot (K)^-1 和 1.7 , (kW) cdot (m)^-2 cdot (K)^-1，两侧的污垢热阻可忽略不计，试求所需的管长和冷却水消耗量。

在一套管换热器中，用冷却水将 $0.45 \, \text{kg} \cdot \text{s}^{-1}$ 的苯由 $350 \, \text{K}$ 冷却至 $300 \, \text{K}$，冷却水在 $\#25 \, \text{mm} \times 2.5 \, \text{mm}$ 的内管中流动，其进、出口温度分别为 $290 \, \text{K}$ 和 $320 \, \text{K}$。已知水和苯的给热系数分别为 $4.85 \, \text{kW} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-1}$ 和 $1.7 \, \text{kW} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-1}$，两侧的污垢热阻可忽略不计，试求所需的管长和冷却水消耗量。

题目解答

答案

根据热量平衡，苯放出的热量为： \[ Q = 0.45 \times 1.75 \times 50 = 39.375 \, \text{kW} \] 冷却水流量为： \[ \dot{m}_w = \frac{39.375}{4.18 \times 30} \approx 0.314 \, \text{kg/s} \] 对数平均温差为： \[ \text{LMTD} = \frac{30 - 10}{\ln 3} \approx 18.2 \, \text{K} \] 总传热系数为： \[ U = \frac{1}{\frac{1}{4.85} + \frac{1}{1.7}} \approx 1.26 \, \text{kW/m}^2\cdot\text{K} \] 传热面积为： \[ A = \frac{39.375}{1.26 \times 18.2} \approx 1.72 \, \text{m}^2 \] 管长为： \[ L = \frac{1.72}{\pi \times 0.02} \approx 27.4 \, \text{m} \] 最终结果： - 冷却水流量：$ \dot{m}_w \approx 0.314 \, \text{kg/s} $。 - 所需管长：$ L \approx 27.4 \, \text{m} $。

解析

本题主要考察了套管换热器的热量衡算、对数平均温差计算、总传热系数计算以及传热面积和管长的计算。解题思路如下：

  1. 计算苯放出的热量：根据热量计算公式$Q = \dot{m}c_p\Delta T$，其中$\dot{m}$是苯的质量流量，$c_p$是苯的比热容，$\Delta T$是苯的温度变化。已知苯的质量流量$\dot{m}=0.45 \, \text{kg} \cdot \text{s}^{-1}$，假设苯的比热容$c_p = 1.75 \, \text{kJ} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}$，温度变化$\Delta T=350 - 300 = 50 \, \text{K}$，则苯放出的热量为：
    $\begin{align*}Q&=\dot{m}c_p\Delta T\\&= 0.45 \times 1.75 \times 50\\&= 39.375 \, \text{kW}\end{align*}$
  2. 计算冷却水消耗量：由于苯放出的热量等于冷却水吸收的热量，即$Q = \dot{m}_w c_{p,w} \Delta T_w$，其中$\dot{m}_w$是冷却水的质量流量，$c_{p,w}$是水的比热容，$\Delta T_w$是冷却水的温度变化。已知水的比热容$c_{p,w} = 4.18 \, \text{kJ} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}$，冷却水的温度变化$\Delta T_w = 320 - 290 = 30 \, \text{K}$，则冷却水流量为：
    $\begin{align*}\dot{m}_w&=\frac{Q}{c_{p,w} \Delta T_w}\\&=\frac{39.375}{4.18 \times 30}\\&\approx 0.314 \, \text{kg/s}\end{align*}$
  3. 计算对数平均温差：对于套管换热器，对数平均温差$\text{LMTD}=\frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}}$，其中$\Delta T_1$和$\Delta T_2$是换热器两端的温差。$\Delta T_1 = 350 - 290 = 60 \, \text{K}$，$\Delta T_2 = 300 - 320 = -20 \, \text{K}$（取绝对值$20 \, \text{K}$），则对数平均温差为：
    $\begin{align*}\text{LMTD}&=\frac{60 - 20}{\ln\frac{60}{20}}\\&=\frac{40}{\ln 3}\\&\approx 18.2 \, \text{K}\end{align*}$
  4. 计算总传热系数：由于两侧的污垢热阻可忽略不计，总传热系数$U$的计算公式为$U = \frac{1}{\frac{1}{\alpha_1} + \frac{1}{\alpha_2}}$，其中$\alpha_1$和$\alpha_2$分别是水和苯的给热系数。已知水的给热系数$\alpha_1 = 4.85 \, \text{kW} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-1}$，苯的给热系数$\alpha_2 = 1.7 \, \text{kW} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-1}$，则总传热系数为：
    $\begin{align*}U&=\frac{1}{\frac{1}{4.85} + \frac{1}{1.7}}\\&\approx 1.26 \, \text{kW/m}^2\cdot\text{K}\end{align*}$
  5. 计算传热面积：根据传热速率方程$Q = UA\text{LMTD}$，可得传热面积$A = \frac{Q}{U\text{LMTD}}$。已知$Q = 39.375 \, \text{kW}$，$U = 1.26 \, \text{kW/m}^2\cdot\text{K}$，$\text{LMTD} = 18.2 \, \text{K}$，则传热面积为：
    $\begin{align*}A&=\frac{Q}{U\text{LMTD}}\\&=\frac{39.375}{1.26 \times 18.2}\\&\approx 1.72 \, \text{m}^2\end{align*}$
  6. 计算管长：对于圆管，传热面积$A = \pi dL$，其中$d$是管内径，$L$是管长。已知内管规格为$\#25 \, \text{mm} \times 2.5 \, \text{mm}$，则管内径$d = 25 - 2\times2.5 = 20 \, \text{mm} = 0.02 \, \text{m}$，则管长为：
    $\begin{align*}L&=\frac{A}{\pi d}\\&=\frac{1.72}{\pi \times 0.02}\\&\approx 27.4 \, \text{m}\end{align*}$