题目
1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位） a=3i ，b=3j ，c=1.5 （i+j+k ），此处 i，j， k 为笛卡儿坐标系中x， y，z 向的单位失量 .问：（ 1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（ 2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位） a=3i ，b=3j ，c=1.5 （i+j+k ），此处 i，j， k 为笛卡儿坐标系中x， y，z 向的单位失量 .问：（ 1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（ 2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
题目解答
答案
答：（1）因为 a=3i ，b=3j ，而 c=1.5（ i+j+k ）=1/2 （ 3i+3j+3k ）=1/2 （ a+b+c ′ ）式中c′=3c 。显然， a、b、c′构成一个边长为3*10-10 m 的立晶胞，基矢c 正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立布喇菲格子。（ 2）晶胞的体积 = c (agb)= 3k (3ig3j)=27*10-30(m3)= 1 (3原胞的体积 = c (agb)i3jk3 ) (3gi3 )j=13.5*10-30 (m3)
解析
步骤 1：确定晶格类型
根据题目给出的基矢 a=3i，b=3j，c=1.5(i+j+k)，其中 i，j，k 为笛卡儿坐标系中 x，y，z 向的单位矢量。可以观察到，基矢 c 可以表示为 c=1.5(i+j+k)=1/2(3i+3j+3k)=1/2(a+b+c′)，其中 c′=3c。这表明基矢 c 正处于一个边长为 3*10^-10 m 的立方晶胞的体心上。因此，这种晶格属于体心立方布拉菲格子。
步骤 2：计算晶胞的体积
晶胞的体积可以通过基矢 a，b，c 的叉乘来计算。晶胞的体积 V = |a·(b×c)|。根据题目给出的基矢，可以计算出晶胞的体积为 V = |3i·(3j×1.5(i+j+k))| = |3i·(3j×1.5i+3j×1.5j+3j×1.5k)| = |3i·(0+0+4.5k)| = |3i·4.5k| = 13.5 nm^3 = 13.5*10^-27 m^3。
步骤 3：计算原胞的体积
原胞的体积可以通过晶胞的体积除以晶胞中包含的原胞数来计算。对于体心立方晶格，晶胞中包含 2 个原胞。因此，原胞的体积为 V_原胞 = V_晶胞 / 2 = 13.5*10^-27 m^3 / 2 = 6.75*10^-27 m^3。
根据题目给出的基矢 a=3i，b=3j，c=1.5(i+j+k)，其中 i，j，k 为笛卡儿坐标系中 x，y，z 向的单位矢量。可以观察到，基矢 c 可以表示为 c=1.5(i+j+k)=1/2(3i+3j+3k)=1/2(a+b+c′)，其中 c′=3c。这表明基矢 c 正处于一个边长为 3*10^-10 m 的立方晶胞的体心上。因此，这种晶格属于体心立方布拉菲格子。
步骤 2：计算晶胞的体积
晶胞的体积可以通过基矢 a，b，c 的叉乘来计算。晶胞的体积 V = |a·(b×c)|。根据题目给出的基矢，可以计算出晶胞的体积为 V = |3i·(3j×1.5(i+j+k))| = |3i·(3j×1.5i+3j×1.5j+3j×1.5k)| = |3i·(0+0+4.5k)| = |3i·4.5k| = 13.5 nm^3 = 13.5*10^-27 m^3。
步骤 3：计算原胞的体积
原胞的体积可以通过晶胞的体积除以晶胞中包含的原胞数来计算。对于体心立方晶格，晶胞中包含 2 个原胞。因此，原胞的体积为 V_原胞 = V_晶胞 / 2 = 13.5*10^-27 m^3 / 2 = 6.75*10^-27 m^3。