对碳的质量分数为0.1%的钢进行渗碳,渗碳时钢件表面碳的质量分数保持为1.2%,要求在其表面以下2mm处碳的质量分数为045%若(1)试求渗碳所需时间(2)若想将渗碳厚度增加1倍,需多少渗碳时间?

本题考查菲克第二定律在恒定平面源问题中的应用，核心在于利用浓度分布公式求解渗碳时间。关键点包括：

1. 公式选择：菲克第二定律的解 $\frac{c_s - c}{c_s - c_0} = \text{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{vt}}\right)$，其中 $v$ 为扩散系数。
2. 参数对应：明确各符号含义（$c_s$ 表面浓度，$c_0$ 初始浓度，$c$ 目标点浓度，$x$ 深度，$t$ 时间）。
3. 比例关系：第二问中，渗碳时间与渗碳深度平方成正比（$t \propto x^2$）。

第（1）题

已知条件

• 初始浓度 $c_0 = 0.1\%$
• 表面浓度 $c_s = 1.2\%$
• 目标点浓度 $c = 0.45\%$
• 深度 $x = 2 \, \text{mm}$

计算浓度比

$\frac{c_s - c}{c_s - c_0} = \frac{1.2\% - 0.45\%}{1.2\% - 0.1\%} = \frac{0.75}{1.1} \approx 0.68$

查误差函数表

查得 $\text{erf}(0.70) \approx 0.68$，对应：
$\frac{x}{2\sqrt{vt}} = 0.70$

代入数据求时间

假设扩散系数 $v = D$（常温下 $D$ 稳定），整理得：
$\frac{2}{2\sqrt{D t}} = 0.70 \implies \sqrt{t} = \frac{2}{0.70 \cdot \sqrt{D}}$
若题目中隐含 $D = 0.224 \, \text{mm}^2/\text{h}$，则：
$\sqrt{t} = \frac{2}{0.70 \cdot \sqrt{0.224}} \implies t \approx 102400 \, \text{s} = 28.4 \, \text{h}$

第（2）题

深度与时间关系

渗碳厚度 $x' = 2x$，根据公式 $\frac{x}{2\sqrt{vt}} = \text{erf}^{-1}(0.68)$，可得：
$t' \propto (x')^2 = (2x)^2 = 4x^2 \implies t' = 4t$