题目
例 3-5 在100kPa的恒压下过滤某悬浮液,温度为30℃,过滤面积为40m^2,并已知-|||-滤渣的比阻为 https:/img.cdnjtzy.com/zyb_d09624da2a4a39213917d5bb11e45ea9.jpgtimes (10)^14(m)^-2 值为 .05(m)^3cdot (m)^-3 过滤介质的阻力忽略不计,滤渣为不-|||-可压缩。试求:(1)要获得10m^3滤液需要多少过滤时间?(2)若仅将过滤时间延长一-|||-倍,又可以再获得多少立方米滤液?(3)若仅将过滤压力差增加一倍,同样获得10m^3滤-|||-液时又需要多少过滤时间?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定恒压过滤方程
由于过滤介质的阻力忽略不计，滤渣为不可压缩，恒压过滤方程为：
$${(V+{V}_{e})}^{2}={KA}^{2}(\theta +{\theta }_{e})$$
其中，$V$为滤液量，$A$为过滤面积，$K$为过滤常数，$\theta$为过滤时间，${V}_{e}$和${\theta }_{e}$分别为介质阻力对应的滤液量和时间。由于介质阻力忽略不计，${V}_{e}\sim 0$，${\theta }_{e}\sim 0$，则方程简化为：
$${V}^{2}={KA}^{2}\theta$$
步骤 2：计算过滤常数 $K$
过滤常数 $K$ 可以通过以下公式计算：
$$K=\dfrac {2\Delta P}{\mu {r}_{2}}$$
其中，$\Delta P$ 为过滤压力差，$\mu$ 为滤液的粘度，$r$ 为滤渣的比阻。已知 $\Delta P=100kPa$，$r=1\times {10}^{14}{m}^{-2}$，$v=0.05{m}^{3}\cdot {m}^{-3}$，并查水(滤液)的温度为30℃时，其 $\mu =0.8007\times {10}^{-3}Pa\cdot s$。代入公式计算得：
$$K=\dfrac {2\times 100\times {10}^{8}}{0.8007\times {10}^{-3}\times 1\times {10}^{4}\times 0.05}=4.996\times {10}^{-5}{m}^{2}\cdot {s}^{-1}$$
步骤 3：计算获得10m^3滤液需要的过滤时间
已知 $V=10{m}^{3}$，$A=40{m}^{2}$，代入恒压过滤方程计算得：
$$\theta =\dfrac {{V}^{2}}{{KA}^{2}}=\dfrac {{10}^{2}}{4.996\times {10}^{-5}\times {40}^{2}}=1251s=20.85min$$
步骤 4：计算过滤时间延长一倍时增加的滤液量
过滤时间延长一倍，即 $\theta '=2\theta =2\times 1251=2502s$，代入恒压过滤方程计算得：
$$V'=\sqrt {{KA}^{2}\theta '}=\sqrt {4.996\times {10}^{-3}\times {40}^{2}\times 2502}=14.14{m}^{3}$$
故增加的滤液量为 $\Delta V=V'-V=14.14-10=4.14({m}^{3})$。
步骤 5：计算过滤压力差增加一倍时获得10m^3滤液需要的过滤时间
过滤压力差增加一倍，即新的过滤常数 ${K}^{n}$ 为 $K'=2K=2\times 4.996\times {10}^{-5}{m}^{2}\cdot {s}^{-1}$，代入恒压过滤方程计算得：
$$\theta ''=\dfrac {{V}^{2}}{{K}^{n}{A}^{2}}=\dfrac {{10}^{2}}{2\times 4.996\times {10}^{-5}\times {40}^{2}}=\dfrac {1251}{2}=625.5s$$
即过滤时间为原来的一半。
由于过滤介质的阻力忽略不计，滤渣为不可压缩，恒压过滤方程为：
$${(V+{V}_{e})}^{2}={KA}^{2}(\theta +{\theta }_{e})$$
其中，$V$为滤液量，$A$为过滤面积，$K$为过滤常数，$\theta$为过滤时间，${V}_{e}$和${\theta }_{e}$分别为介质阻力对应的滤液量和时间。由于介质阻力忽略不计，${V}_{e}\sim 0$，${\theta }_{e}\sim 0$，则方程简化为：
$${V}^{2}={KA}^{2}\theta$$
步骤 2：计算过滤常数 $K$
过滤常数 $K$ 可以通过以下公式计算：
$$K=\dfrac {2\Delta P}{\mu {r}_{2}}$$
其中，$\Delta P$ 为过滤压力差，$\mu$ 为滤液的粘度，$r$ 为滤渣的比阻。已知 $\Delta P=100kPa$，$r=1\times {10}^{14}{m}^{-2}$，$v=0.05{m}^{3}\cdot {m}^{-3}$，并查水(滤液)的温度为30℃时，其 $\mu =0.8007\times {10}^{-3}Pa\cdot s$。代入公式计算得：
$$K=\dfrac {2\times 100\times {10}^{8}}{0.8007\times {10}^{-3}\times 1\times {10}^{4}\times 0.05}=4.996\times {10}^{-5}{m}^{2}\cdot {s}^{-1}$$
步骤 3：计算获得10m^3滤液需要的过滤时间
已知 $V=10{m}^{3}$，$A=40{m}^{2}$，代入恒压过滤方程计算得：
$$\theta =\dfrac {{V}^{2}}{{KA}^{2}}=\dfrac {{10}^{2}}{4.996\times {10}^{-5}\times {40}^{2}}=1251s=20.85min$$
步骤 4：计算过滤时间延长一倍时增加的滤液量
过滤时间延长一倍，即 $\theta '=2\theta =2\times 1251=2502s$，代入恒压过滤方程计算得：
$$V'=\sqrt {{KA}^{2}\theta '}=\sqrt {4.996\times {10}^{-3}\times {40}^{2}\times 2502}=14.14{m}^{3}$$
故增加的滤液量为 $\Delta V=V'-V=14.14-10=4.14({m}^{3})$。
步骤 5：计算过滤压力差增加一倍时获得10m^3滤液需要的过滤时间
过滤压力差增加一倍，即新的过滤常数 ${K}^{n}$ 为 $K'=2K=2\times 4.996\times {10}^{-5}{m}^{2}\cdot {s}^{-1}$，代入恒压过滤方程计算得：
$$\theta ''=\dfrac {{V}^{2}}{{K}^{n}{A}^{2}}=\dfrac {{10}^{2}}{2\times 4.996\times {10}^{-5}\times {40}^{2}}=\dfrac {1251}{2}=625.5s$$
即过滤时间为原来的一半。