题目
例 10-6 某点的应力状态如图 10-16a 所示,图中应力的单位为MPa。试求该点的主-|||-应力及最大切应力。-|||-20 y-|||-20-|||-40-|||-60-|||-⊙ x-|||-、40 σ"= 60-|||-(a) (b)-|||-(单位:MPa)-|||-图 10-16
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定已知的主应力
已知应力状态中有一个主应力是已知的，即 ${\sigma }^{m}=60\quad MPa$。因此，单元体上平行于σ"的截面上的应力值与σ"无关。因此，当确定这一组截面上的应力以及这组截面中的主应力 σ'和σ"时，可以将所给定的应力状态视为如图 10-16b 所示的平面应力状态。
步骤 2：计算平面应力状态下的主应力
应用式 (10-5a,b) ，并代入 $\sigma x=0$ ${\sigma }_{y}=-20MPa$ ${I}_{x}=40M{P}_{a}$ ，可求得 ${|}_{{\sigma }^{|}|}=\dfrac {0+(-20)}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {0-(-20)}{2})}^{2}+{(40)}^{2}}=$ 31.23MPa -51.23MPa
步骤 3：确定主应力的排列顺序
根据主应力的排列顺序，该点的三个主应力为 ${\sigma }_{1}=\sigma ''=60MPa$ ， ${\sigma }_{2}=\sigma '=31.23MPa$ ， ${\sigma }_{3}=\sigma ''=-51.23MPa$
步骤 4：计算最大切应力
该点的最大切应力则由式 (10-10) 求得 ${T}_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=\dfrac {60-(-51.23)}{2}=55.6N/Pa$
已知应力状态中有一个主应力是已知的，即 ${\sigma }^{m}=60\quad MPa$。因此，单元体上平行于σ"的截面上的应力值与σ"无关。因此，当确定这一组截面上的应力以及这组截面中的主应力 σ'和σ"时，可以将所给定的应力状态视为如图 10-16b 所示的平面应力状态。
步骤 2：计算平面应力状态下的主应力
应用式 (10-5a,b) ，并代入 $\sigma x=0$ ${\sigma }_{y}=-20MPa$ ${I}_{x}=40M{P}_{a}$ ，可求得 ${|}_{{\sigma }^{|}|}=\dfrac {0+(-20)}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {0-(-20)}{2})}^{2}+{(40)}^{2}}=$ 31.23MPa -51.23MPa
步骤 3：确定主应力的排列顺序
根据主应力的排列顺序，该点的三个主应力为 ${\sigma }_{1}=\sigma ''=60MPa$ ， ${\sigma }_{2}=\sigma '=31.23MPa$ ， ${\sigma }_{3}=\sigma ''=-51.23MPa$
步骤 4：计算最大切应力
该点的最大切应力则由式 (10-10) 求得 ${T}_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=\dfrac {60-(-51.23)}{2}=55.6N/Pa$