题目
Ni的晶体结构为面心立方结构，其原子半径为r = 0.1243 , (nm)，试求Ni的晶格常数和密度。
Ni的晶体结构为面心立方结构，其原子半径为$r = 0.1243 \, \text{nm}$，试求Ni的晶格常数和密度。
题目解答
答案
根据FCC结构，晶格常数为：
\[
a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = \frac{4 \times 0.1243}{\sqrt{2}} \approx 0.3516 \, \text{nm}
\]
晶胞体积为：
\[
V = a^3 = (3.516 \times 10^{-8} \, \text{cm})^3 \approx 43.47 \times 10^{-24} \, \text{cm}^3
\]
密度计算为：
\[
\rho = \frac{nM}{V N_A} = \frac{4 \times 58.69}{43.47 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 8.96 \, \text{g/cm}^3
\]
最终结果：
晶格常数 $ a \approx 0.3516 \, \text{nm} $，密度 $ \rho \approx 8.96 \, \text{g/cm}^3 $。
解析
本题主要考查面心立方（FCC）晶体结构的相关知识，解题思路是先根据面心立方结构的特点求出晶格常数，再计算晶胞体积，最后结合晶胞中原子个数、原子摩尔质量等信息求出晶体密度。
- 计算晶格常数 $a$：
- 在面心立方结构中，原子紧密排列，沿着面的对角线方向，原子半径 $r$ 与晶格常数 $a$ 存在特定关系。面的对角线长度为 $4r$（由一个面心原子的直径加上两个顶点原子的半径组成），同时面的对角线长度也可以用勾股定理表示为 $\sqrt{2}a$。
- 由此可得等式 $\sqrt{2}a = 4r$，解这个等式求 $a$，即 $a=\frac{4r}{\sqrt{2}}$。
- 已知 $r = 0.1243 \, \text{nm}$，将其代入公式可得：
$\begin{align*}a&=\frac{4\times0.1243}{\sqrt{2}}\\&=\frac{0.4972}{\sqrt{2}}\\&\approx0.3516 \, \text{nm}\end{align*}$
- 计算晶胞体积 $V$：
- 晶胞体积 $V$ 与晶格常数 $a$ 的关系为 $V = a^3$。
- 因为 $1 \, \text{nm}=10^{-7} \, \text{cm}$，所以 $a = 0.3516 \, \text{nm}=3.516\times10^{-8} \, \text{cm}$。
- 则晶胞体积为：
$\begin{align*}V&=(3.516\times10^{-8} \, \text{cm})^3\\&=3.516^3\times(10^{-8})^3 \, \text{cm}^3\\&\approx43.47\times10^{-24} \, \text{cm}^3\end{align*}$
- 计算晶体密度 $\rho$：
- 晶体密度 $\rho$ 的计算公式为 $\rho = \frac{nM}{V N_A}$，其中 $n$ 是晶胞中原子的个数，$M$ 是原子的摩尔质量，$V$ 是晶胞体积，$N_A$ 是阿伏伽德罗常数（$N_A = 6.022\times10^{23} \, \text{mol}^{-1}$）。
- 在面心立方结构中，晶胞顶点有 $8$ 个原子，每个顶点原子对晶胞的贡献为 $\frac{1}{8}$；面心有 $6$ 个原子，每个面心原子对晶胞的贡献为 $\frac{1}{2}$。所以晶胞中原子的个数 $n = 8\times\frac{1}{8}+6\times\frac{1}{2}=4$。
- Ni 的原子摩尔质量 $M = 58.69 \, \text{g/mol}$，$V\approx43.47\times10^{-24} \, \text{cm}^3$，$N_A = 6.022\times10^{23} \, \text{mol}^{-1}$，将这些值代入密度公式可得：
$\begin{align*}\rho&=\frac{4\times58.69}{43.47\times10^{-24} \times 6.022\times10^{23}}\\&=\frac{234.76}{43.47\times6.022\times10^{-1}}\\&=\frac{234.76}{26.17}\\&\approx8.96 \, \text{g/cm}^3\end{align*}$