题目
四、(10分)已知某一维晶格周期为a,晶体的势函数可表为:(x)=cos dfrac (4pi x)(a)-|||-__,试由近自由电子模型计算其第一和第二禁带的宽度。
四、(10分)已知某一维晶格周期为a,晶体的势函数可表为:
,试由近自由电子模型计算其第一和第二禁带的宽度。
题目解答
答案
解:由近自由电子模型,各禁带的宽度
,
而Vn是晶体势函数V(x)的傅利叶级数展式的系数。其值:
与势函数的傅氏展式比较得到:
解析
步骤 1：确定势函数的傅里叶级数展开
势函数 $Y(x)=\cos \dfrac {4\pi x}{a}$ 可以用傅里叶级数展开表示为：
$Y(x)=\sum _{n}^{2}{V}_{n}exp(i\dfrac {2\pi n}{a}x)$
步骤 2：计算傅里叶级数的系数
将势函数 $Y(x)$ 用复指数形式表示：
$Y(x)=\cos \dfrac {4\pi x}{a}=\dfrac {1}{2}[ exp(i\dfrac {4\pi x}{a})+exp(-i\dfrac {4\pi x}{a})]$
与势函数的傅氏展式比较得到：
$\left \{ \begin{matrix} {V}_{1}=0\\ {V}_{2}=\dfrac {1}{2}\end{matrix} \right.$
步骤 3：计算禁带宽度
根据近自由电子模型，各禁带的宽度 ${E}_{gn}=2|{V}_{n}|$，因此：
$\left \{ \begin{matrix} {E}_{{g}_{1}}=2|{v}_{1}|=0\\ {E}_{g2}=2|{v}_{2}|=1\end{matrix} \right.$
势函数 $Y(x)=\cos \dfrac {4\pi x}{a}$ 可以用傅里叶级数展开表示为：
$Y(x)=\sum _{n}^{2}{V}_{n}exp(i\dfrac {2\pi n}{a}x)$
步骤 2：计算傅里叶级数的系数
将势函数 $Y(x)$ 用复指数形式表示：
$Y(x)=\cos \dfrac {4\pi x}{a}=\dfrac {1}{2}[ exp(i\dfrac {4\pi x}{a})+exp(-i\dfrac {4\pi x}{a})]$
与势函数的傅氏展式比较得到：
$\left \{ \begin{matrix} {V}_{1}=0\\ {V}_{2}=\dfrac {1}{2}\end{matrix} \right.$
步骤 3：计算禁带宽度
根据近自由电子模型，各禁带的宽度 ${E}_{gn}=2|{V}_{n}|$，因此：
$\left \{ \begin{matrix} {E}_{{g}_{1}}=2|{v}_{1}|=0\\ {E}_{g2}=2|{v}_{2}|=1\end{matrix} \right.$