题目
一搅拌槽中原盛有质量分数 10% 的盐水 2000(kg)。今以 100(kg/min) 的质量流率向槽中加入质量分数为 0.2% 的盐水，同时以 60(kg/min) 的质量流率由槽中排出混合后的溶液。设搅拌良好，槽中溶液充分混合。试求槽中溶液质量分数降至 1% 时所需的时间。
一搅拌槽中原盛有质量分数 $10\%$ 的盐水 $2000\text{kg}$。今以 $100\text{kg/min}$ 的质量流率向槽中加入质量分数为 $0.2\%$ 的盐水，同时以 $60\text{kg/min}$ 的质量流率由槽中排出混合后的溶液。设搅拌良好，槽中溶液充分混合。试求槽中溶液质量分数降至 $1\%$ 时所需的时间。
题目解答
答案
根据物料平衡，槽中盐质量 $ S(t) $ 满足：
\[
S(t) = 4 + 0.08t + 196 (2000)^{3/2} (2000 + 40t)^{-3/2}
\]
令 $ w(t) = 0.01 $，得：
\[
196 \left( \frac{2000}{2000 + 40t} \right)^{3/2} = 16 + 0.32t
\]
令 $ x = 1 + 0.02t $，化简为：
\[
196 x^{-3/2} = 16x \implies x^{5/2} = 12.25 \implies x = (12.25)^{2/5} = (150.0625)^{1/5} \approx 2.724
\]
\[
t = \frac{x - 1}{0.02} = \frac{1.724}{0.02} = 86.2 \, \text{min}
\]
最终答案：约86.2分钟。