一搅拌槽中原盛有质量分数 10% 的盐水 2000(kg)。今以 100(kg/min) 的质量流率向槽中加入质量分数为 0.2% 的盐水，同时以 60(kg/min) 的质量流率由槽中排出混合后的溶液。设搅拌良好，槽中溶液充分混合。试求槽中溶液质量分数降至 1% 时所需的时间。

本题考查的是基于物料平衡原理的化学反应工程问题，解题的关键在于建立槽中盐质量随时间变化的微分方程，然后求解该方程得到盐质量与时间的关系，最后根据目标质量分数求出所需时间。

1. 确定槽内溶液质量随时间的变化关系：
   • 设初始时刻 $t = 0$ 时，槽内溶液质量为 $M_0=2000\text{kg}$。
   • 流入溶液的质量流率为 $F_{in}=100\text{kg/min}$，流出溶液的质量流率为 $F_{out}=60\text{kg/min}$。
   • 则在任意时刻 $t$，槽内溶液质量 $M(t)$ 的变化率为 $\frac{dM(t)}{dt}=F_{in}-F_{out}=100 - 60=40\text{kg/min}$。
   • 对其进行积分可得 $M(t)=M_0+\int_{0}^{t}\frac{dM}{dt}dt=2000 + 40t$。
2. 建立槽内盐质量的物料平衡方程：
   • 设槽内盐质量为 $S(t)$，盐的质量分数为 $w(t)=\frac{S(t)}{M(t)}$。
   • 流入盐的质量流率为 $F_{in}w_{in}=100\times0.002 = 0.2\text{kg/min}$，流出盐的质量流率为 $F_{out}w(t)=60\times\frac{S(t)}{2000 + 40t}$。
   • 根据物料平衡，$\frac{dS(t)}{dt}=F_{in}w_{in}-F_{out}w(t)$，即 $\frac{dS(t)}{dt}=0.2-60\times\frac{S(t)}{2000 + 40t}$。
   • 这是一个一阶线性非齐次常微分方程，其标准形式为 $\frac{dS(t)}{dt}+\frac{60}{2000 + 40t}S(t)=0.2$。
   • 先求对应的齐次方程 $\frac{dS(t)}{dt}+\frac{60}{2000 + 40t}S(t)=0$ 的通解，分离变量得 $\frac{dS(t)}{S(t)}=-\frac{60}{2000 + 40t}dt$。
   • 两边积分：$\int\frac{dS(t)}{S(t)}=-\int\frac{60}{2000 + 40t}dt$。
   • 令 $u = 2000+40t$，则 $du = 40dt$，$\int\frac{60}{2000 + 40t}dt=\frac{60}{40}\int\frac{du}{u}=\frac{3}{2}\ln u=\frac{3}{2}\ln(2000 + 40t)$。
   • 所以齐次方程的通解为 $S_h(t)=C(2000 + 40t)^{-\frac{3}{2}}$。
   • 再用常数变易法求非齐次方程的通解，设 $S(t)=C(t)(2000 + 40t)^{-\frac{3}{2}}$，则 $\frac{dS(t)}{dt}=C^\prime(t)(2000 + 40t)^{-\frac{3}{2}}-60C(t)(2000 + 40t)^{-\frac{5}{2}}$。
   • 代入非齐次方程得 $C^\prime(t)(2000 + 40t)^{-\frac{3}{2}}=0.2$，即 $C^\prime(t)=0.2(2000 + 40t)^{\frac{3}{2}}$。
   • 对 $C^\prime(t)$ 积分：$C(t)=\int0.2(2000 + 40t)^{\frac{3}{2}}dt$。
   • 令 $v = 2000+40t$，$dv = 40dt$，$\int0.2(2000 + 40t)^{\frac{3}{2}}dt=\frac{0.2}{40}\int v^{\frac{3}{2}}dv=\frac{0.2}{40}\times\frac{2}{5}v^{\frac{5}{2}}+C_1=\frac{1}{500}(2000 + 40t)^{\frac{5}{2}}+C_1$。
   • 所以非齐次方程的通解为 $S(t)=(2000 + 40t)^{-\frac{3}{2}}\left[\frac{1}{500}(2000 + 40t)^{\frac{5}{2}}+C\right]=\frac{1}{500}(2000 + 40t)+C(2000 + 40t)^{-\frac{3}{2}}$。
   • 已知初始条件 $t = 0$ 时，$S(0)=2000\times0.1 = 200\text{kg}$，代入上式可得 $200=\frac{1}{500}\times2000+C\times2000^{-\frac{3}{2}}$。
   • 解得 $C = 196\times2000^{\frac{3}{2}}$，则 $S(t)=\frac{1}{500}(2000 + 40t)+196\times2000^{\frac{3}{2}}(2000 + 40t)^{-\frac{3}{2}}=4 + 0.08t+196\times2000^{\frac{3}{2}}(2000 + 40t)^{-\frac{3}{2}}$。
3. 根据目标质量分数求时间 $t$：
   • 已知 $w(t)=\frac{S(t)}{M(t)} = 0.01$，$M(t)=2000 + 40t$，$S(t)=4 + 0.08t+196\times2000^{\frac{3}{2}}(2000 + 40t)^{-\frac{3}{2}}$，则 $\frac{4 + 0.08t+196\times2000^{\frac{3}{2}}(2000 + 40t)^{-\frac{3}{2}}}{2000 + 40t}=0.01$。
   • 化简得 $196\times\left(\frac{2000}{2000 + 40t}\right)^{\frac{3}{2}}=16 + 0.32t$。
   • 令 $x = 1+0.02t$，则 $t=\frac{x - 1}{0.02}$，$2000 + 40t=2000+40\times\frac{x - 1}{0.02}=2000x$，$\frac{2000}{2000 + 40t}=\frac{1}{x}$。
   • 原方程化为 $196x^{-\frac{3}{2}}=16x$。
   • 两边同时乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 得 $196 = 16x^{\frac{5}{2}}$，即 $x^{\frac{5}{2}}=\frac{196}{16}=12.25$。
   • 两边同时取 $\frac{2}{5}$ 次方得 $x=(12.25)^{\frac{2}{5}}=(12.25^2)^{\frac{1}{5}}=(150.0625)^{\frac{1}{5}}\approx2.724$。
   • 由 $x = 1+0.02t$，可得 $t=\frac{x - 1}{0.02}=\frac{2.724 - 1}{0.02}=86.2\text{min}$。