题目
当某一材料的断裂韧度 K_(mathrm{IC)} = 62 , (MPa) cdot (m)^1/2，材料中裂纹的长度 2a = 5.7 , (mm) 时，要使裂纹失稳扩展而导致断裂，需要多大的应力？(设 Y = sqrt(pi))
当某一材料的断裂韧度 $K_{\mathrm{IC}} = 62 \, \text{MPa} \cdot \text{m}^{1/2}$，材料中裂纹的长度 $2a = 5.7 \, \text{mm}$ 时，要使裂纹失稳扩展而导致断裂，需要多大的应力？(设 $Y = \sqrt{\pi}$)
题目解答
答案
根据题目给出的条件，断裂韧度 $ K_{IC} = 62 \, \text{MPa} \cdot \sqrt{\text{m}} $，裂纹长度 $ 2a = 5.7 \, \text{mm} $，即 $ a = 2.85 \, \text{mm} = 2.85 \times 10^{-3} \, \text{m} $。根据断裂力学公式：
\[
K_{IC} = Y \sigma_c \sqrt{\pi a}
\]
将 $ Y = \sqrt{\pi} $ 代入，可得：
\[
\sigma_c = \frac{K_{IC}}{Y \sqrt{\pi a}} = \frac{62}{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi \times 2.85 \times 10^{-3}}}
\]
简化分母：
\[
Y \sqrt{\pi a} = \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi \times 2.85 \times 10^{-3}} = \sqrt{\pi^2 \times 2.85 \times 10^{-3}} = \pi \sqrt{2.85 \times 10^{-3}}
\]
计算 $ \sqrt{2.85 \times 10^{-3}} $：
\[
\sqrt{2.85 \times 10^{-3}} \approx \sqrt{0.00285} \approx 0.0534
\]
因此：
\[
Y \sqrt{\pi a} \approx \pi \times 0.0534 \approx 3.14 \times 0.0534 \approx 0.1676
\]
最终：
\[
\sigma_c = \frac{62}{0.1676} \approx 369.8 \, \text{MPa}
\]
综上，需施加的应力约为 $ 370 \, \text{MPa} $。
答案：约 $ 370 \, \text{MPa} $。
解析
本题考查断裂力学中根据断裂韧度、裂纹长度和形状因子计算使裂纹失稳扩展导致断裂所需应力的知识。解题思路是先明确已知条件，将裂纹长度的单位统一为米，再根据断裂力学公式$K_{IC} = Y \sigma_c \sqrt{\pi a}$，结合给定的$Y = \sqrt{\pi}$，推导出计算应力$\sigma_c$的表达式，然后逐步计算出结果。
- 统一单位：
已知裂纹长度$2a = 5.7 \, \text{mm}$，则$a = \frac{5.7}{2} = 2.85 \, \text{mm}$。因为$1 \, \text{mm}=10^{-3} \, \text{m}$，所以$a = 2.85\times10^{-3} \, \text{m}$。 - 推导应力计算公式：
已知断裂力学公式$K_{IC} = Y \sigma_c \sqrt{\pi a}$，将$Y = \sqrt{\pi}$代入该公式，可得$\sigma_c = \frac{K_{IC}}{Y \sqrt{\pi a}} = \frac{K_{IC}}{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi a}}$。 - 简化分母：
对$\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi a}$进行化简，根据根式乘法法则$\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}=\sqrt{mn}$，可得$\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi a}=\sqrt{\pi^2 a}=\pi\sqrt{a}$。 - 计算$\sqrt{a}$的值：
将$a = 2.85\times10^{-3} \, \text{m}$代入$\sqrt{a}$，可得$\sqrt{2.85\times10^{-3}}=\sqrt{0.00285}\approx0.0534$。 - 计算分母的值：
将$\sqrt{2.85\times10^{-3}}\approx0.0534$代入$\pi\sqrt{a}$，可得$\pi\sqrt{a}\approx3.14\times0.0534\approx0.1676$。 - 计算应力$\sigma_c$的值：
已知$K_{IC} = 62 \, \text{MPa} \cdot \text{m}^{1/2}$，将$K_{IC}$和分母的值代入$\sigma_c = \frac{K_{IC}}{\pi\sqrt{a}}$，可得$\sigma_c = \frac{62}{0.1676}\approx369.8 \, \text{MPa}$，结果保留整数约为$370 \, \text{MPa}$。