题目
1.2.4 证明密排六方结构中,晶格常数之比 /a=sqrt (8/3)approx 1.633。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定六边形边长与原子半径的关系
在密排六方结构中，六边形边上两个原子相切，因此六边形边长 $a$ 与原子球半径 $r$ 之间满足 $a=2r$。
步骤 2：确定正四面体的边长
考虑到图 1-8 中原子O、A、B、E相互接触，形成正四面体，正四面体的边长等于六边形的边长，即正四面体的边长为 $a$。
步骤 3：计算正四面体的高
找到等边三角形OAB的中心H，连接AH并延长，与OB相交于F，连接EH。由于 $\Delta OAB$ 是等边三角形，因此 $AF=\dfrac {\sqrt {3}}{2}a$，$AH=\dfrac {2}{3}AF=\dfrac {\sqrt {3}}{3}a$。根据勾股定理，$EH=\sqrt {{AE}^{2}-{AH}^{2}}=\sqrt {{a}^{2}-\dfrac {1}{3}{a}^{2}}=\sqrt {\dfrac {2}{3}a}$。
步骤 4：确定密排六方晶体结构单元的高
密排六方晶体结构单元的高 $c$ 是正四面体高 $EH$ 的2倍，即 $c=2EH=\sqrt {\dfrac {8}{3}}a$。
步骤 5：计算晶格常数之比
根据步骤 4 的结果，得到 $c/a=\sqrt {8/3}\approx 1.633$。
在密排六方结构中，六边形边上两个原子相切，因此六边形边长 $a$ 与原子球半径 $r$ 之间满足 $a=2r$。
步骤 2：确定正四面体的边长
考虑到图 1-8 中原子O、A、B、E相互接触，形成正四面体，正四面体的边长等于六边形的边长，即正四面体的边长为 $a$。
步骤 3：计算正四面体的高
找到等边三角形OAB的中心H，连接AH并延长，与OB相交于F，连接EH。由于 $\Delta OAB$ 是等边三角形，因此 $AF=\dfrac {\sqrt {3}}{2}a$，$AH=\dfrac {2}{3}AF=\dfrac {\sqrt {3}}{3}a$。根据勾股定理，$EH=\sqrt {{AE}^{2}-{AH}^{2}}=\sqrt {{a}^{2}-\dfrac {1}{3}{a}^{2}}=\sqrt {\dfrac {2}{3}a}$。
步骤 4：确定密排六方晶体结构单元的高
密排六方晶体结构单元的高 $c$ 是正四面体高 $EH$ 的2倍，即 $c=2EH=\sqrt {\dfrac {8}{3}}a$。
步骤 5：计算晶格常数之比
根据步骤 4 的结果，得到 $c/a=\sqrt {8/3}\approx 1.633$。