题目

一零件由45钢制成,材料的机械性能为: sigma_(mathrm{s)}=360 mathrm(MPa), sigma_(mathrm{t)}=300 mathrm(MPa), varphi_(sigma)=0.2。已知零件上最大工作应力sigma_(max )=190 mathrm(MPa),最小工作应力sigma_(min )=110 mathrm(MPa),应力变化规律为r=C,弯曲疲劳极限的综合影响系数K_(sigma)=2。试画出零件的极限应力图,在图上标注零件的工作应力点M及极限应力点M'用图解法确定该零件的计算安全系数。

一零件由45钢制成,材料的机械性能为: $\sigma_{\mathrm{s}}=360 \mathrm{MPa}$, $\sigma_{\mathrm{t}}=300 \mathrm{MPa}$, $\varphi_{\sigma}=0.2$。已知零件上最大工作应力$\sigma_{\max }=190 \mathrm{MPa}$,最小工作应力$\sigma_{\min }=110 \mathrm{MPa}$,应力变化规律为$r=C$,弯曲疲劳极限的综合影响系数$K_{\sigma}=2$。试画出零件的极限应力图,在图上标注零件的工作应力点$M$及极限应力点$M'$用图解法确定该零件的计算安全系数。

题目解答

答案

根据题目数据： 1. $\sigma_m = 150 \, \text{MPa}$，$\sigma_a = 40 \, \text{MPa}$。 2. 调整后参数：$\sigma_s' = 180 \, \text{MPa}$，$\sigma_{-1}' = 150 \, \text{MPa}$，$\varphi_{\sigma}' = 0.2$。 3. 极限应力图： - 点 $A(0, 150)$，$C(180, 0)$，$G(37.5, 142.5)$。 - 疲劳线 $AG: \sigma_a = 150 - 0.2 \sigma_m$。 - 屈服线 $CG: \sigma_a = 180 - \sigma_m$。 4. 工作点 $M(150, 40)$，对应极限点 $M'(150, 30)$。 5. 安全系数： \[ n = \frac{\sigma_a'}{\sigma_a} = \frac{30}{40} = 0.75 \] 结论：$n = 0.75 < 1$，零件不安全。 （图示略，需标注 $A$、$C$、$G$、$M$、$M'$ 及对应线段。）

解析

本题主要考察材料力学中疲劳强度和屈服强度的相关知识，通过绘制极限应力图，利用图解法确定零件的计算安全系数。解题的关键在于先计算出平均应力和应力幅，再根据综合影响系数调整材料的疲劳极限和屈服极限，然后确定极限应力图上的关键点和极限线方程，最后找出工作应力点和对应的极限应力点，从而计算出安全系数。

  1. 计算平均应力 $\sigma_m$ 和应力幅 $\sigma_a$
    • 平均应力的计算公式为：$\sigma_m=\frac{\sigma_{\max}+\sigma_{\min}}{2}$
    • 已知 $\sigma_{\max}=190\mathrm{MPa}$，$\sigma_{\min}=110\mathrm{MPa}$，将其代入公式可得：
      $\sigma_m=\frac{190 + 110}{2}=\frac{300}{2}=150\mathrm{MPa}$
    • 应力幅的计算公式为：$\sigma_a=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}$
    • 将 $\sigma_{\max}=190\mathrm{MPa}$，$\sigma_{\min}=110\mathrm{MPa}$ 代入公式可得：
      $\sigma_a=\frac{190 - 110}{2}=\frac{80}{2}=40\mathrm{MPa}$
  2. 调整材料的疲劳极限和屈服极限
    • 已知弯曲疲劳极限的综合影响系数 $K_{\sigma}=2$，对称循环疲劳极限 $\sigma_{-1}=300\mathrm{MPa}$，屈服极限 $\sigma_{s}=360\mathrm{MPa}$。
    • 调整后的对称循环疲劳极限 $\sigma_{-1}'$ 为：$\sigma_{-1}'=\frac{\sigma_{-1}}{K_{\sigma}}$
    • 将 $\sigma_{-1}=300\mathrm{MPa}$，$K_{\sigma}=2$ 代入可得：$\sigma_{-1}'=\frac{300}{2}=150\mathrm{MPa}$
    • 调整后的屈服极限 $\sigma_{s}'$ 为：$\sigma_{s}'=\frac{\sigma_{s}}{K_{\sigma}}$
    • 将 $\sigma_{s}=360\mathrm{MPa}$，$K_{\sigma}=2$ 代入可得：$\sigma_{s}'=\frac{360}{2}=180\mathrm{MPa}$
    • 材料的应力集中敏感系数 $\varphi_{\sigma}=0.2$ 不变，即 $\varphi_{\sigma}' = 0.2$。
  3. 确定极限应力图上的关键点和极限线方程
    • 点 $A$：当 $\sigma_m = 0$ 时，$\sigma_a=\sigma_{-1}'$，所以点 $A$ 的坐标为 $(0, 150)$。
    • 点 $C$：当 $\sigma_a = 0$ 时，$\sigma_m=\sigma_{s}'$，所以点 $C$ 的坐标为 $(180, 0)$。
    • 点 $G$：点 $G$ 是疲劳线和屈服线的交点，联立疲劳线方程 $\sigma_a=\sigma_{-1}'-\varphi_{\sigma}'\sigma_m$ 和屈服线方程 $\sigma_a=\sigma_{s}'-\sigma_m$ 可得：
      $\sigma_{-1}'-\varphi_{\sigma}'\sigma_m=\sigma_{s}'-\sigma_m$
      将 $\sigma_{-1}' = 150\mathrm{MPa}$，$\varphi_{\sigma}' = 0.2$，$\sigma_{s}' = 180\mathrm{MPa}$ 代入上式可得：
      $150 - 0.2\sigma_m=180 - \sigma_m$
      移项可得：$\sigma_m - 0.2\sigma_m=180 - 150$
      $0.8\sigma_m=30$
      解得：$\sigma_m = 37.5\mathrm{MPa}$
      将 $\sigma_m = 37.5\mathrm{MPa}$ 代入屈服线方程 $\sigma_a=\sigma_{s}'-\sigma_m$ 可得：
      $\sigma_a=180 - 37.5 = 142.5\mathrm{MPa}$
      所以点 $G$ 的坐标为 $(37.5, 142.5)$。
    • 疲劳线 $AG$ 的方程：$\sigma_a=\sigma_{-1}'-\varphi_{\sigma}'\sigma_m$，将 $\sigma_{-1}' = 150\mathrm{MPa}$，$\varphi_{\sigma}' = 0.2$ 代入可得：$\sigma_a = 150 - 0.2\sigma_m$。
    • 屈服线 $CG$ 的方程：$\sigma_a=\sigma_{s}'-\sigma_m$，将 $\sigma_{s}' = 180\mathrm{MPa}$ 代入可得：$\sigma_a = 180 - \sigma_m$。
  4. 确定工作应力点 $M$ 和极限应力点 $M'$
    • 工作应力点 $M$ 的坐标为 $(\sigma_m, \sigma_a)=(150, 40)$。
    • 过点 $M$ 作 $\sigma_m$ 轴的垂线，与疲劳线 $AG$ 相交于点 $M'$，此时 $\sigma_m = 150\mathrm{MPa}$，将其代入疲劳线方程 $\sigma_a = 150 - 0.2\sigma_m$ 可得：
      $\sigma_a'=150 - 0.2\times150=150 - 30 = 30\mathrm{MPa}$
      所以极限应力点 $M'$ 的坐标为 $(150, 30)$。
  5. 计算安全系数 $n$
    • 安全系数的计算公式为：$n=\frac{\sigma_a'}{\sigma_a}$
    • 将 $\sigma_a' = 30\mathrm{MPa}$，$\sigma_a = 40\mathrm{MPa}$ 代入可得：
      $n=\frac{30}{40}=0.75$
      由于 $n = 0.75 \lt 1$，所以零件不安全。