实心的圆轴受扭,若将轴的直径减少一半是,则圆轴的扭转角是原来的()。A. 8倍;B. 2倍;C. 16倍;D. 4倍

本题考察圆轴扭转角的计算及直径变化对扭转角的影响，关键是掌握扭转角公式及各参数的关系。

1. 扭转角公式

圆轴受扭时，，扭转角$\theta$的公式为：
$\theta = \frac{Tl}{GI_p}$
其中：

• $T$为扭矩（不变，题目未提扭矩变化），
• $l$为轴长（不变），
  $G$为材料剪切模量（不变），
  $I_p$为极惯性矩（仅与直径相关）。

2. 极惯性矩$I_p$与直径的关系

实心圆轴的极惯性矩公式为：
$I_p = \frac{\pi d^4}{32}$
即$I_p\propto d^4$（$I_p$与直径$d$的4次方成正比）。

**3. 直径减半后的扭转角变化

设原直径为$d_1=d$，则原$I_{p1}=\frac{\pi d^4}{32}$；
直径减少一半后，$d_2=\frac{d}{2}$，新$I_{p2}=\frac{\pi (d/2)^4}{32}=\frac{\pi d^4}{32}\cdot\cdot\frac{1}{16}=\frac{I_{p1}}{16}$。

代入扭转角公式，扭矩$T$、长度$l$、剪切模量$G$不变，故：
$\theta_2=\frac{Tl}{G I_{p2}}=\frac{Tl}{G(I_{p1}/16)}=16\times\frac{Tl}{GI_{p1}}=16\theta_1$