题目

某单体的竞聚率分别为r_(1)=5.0，r_(2)=0.2：(1) 绘出共聚物组成曲线的示意图。(2) 若f_(1)=0.5，计算低转化率时共聚物的平均组成。

某单体的竞聚率分别为$r_{1}=5.0$，$r_{2}=0.2$：

(1) 绘出共聚物组成曲线的示意图。

(2) 若$f_{1}=0.5$，计算低转化率时共聚物的平均组成。

题目解答

答案

（1）共聚物组成曲线的示意图：
曲线从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$，呈S形弯曲。在 $f_1 = 0.5$ 处，$F_1 \approx 0.833$。具体如下：

F1
1 ┤            *
  │           *
  │          *
  │         *
  │        *
  │       *
  │      *
  │     *
  │    *
  │   *
0 ┤  *
  └─────────── f1
   0   0.5   1

（2）低转化率时共聚物的平均组成：
当 $f_1 = 0.5$ 时，共聚物中单体1的摩尔分数为 $F_1 \approx 0.833$，单体2的摩尔分数为 $F_2 \approx 0.167$。

因此，低转化率时共聚物的平均组成为：
$F_1 \approx 0.833, \quad F_2 \approx 0.167$

解析

本题主要考查共聚物组成方程的应用以及共聚物组成曲线的绘制。解题的关键在于理解竞聚率的含义，掌握共聚物组成方程，并能根据给定的竞聚率和单体摩尔分数计算共聚物的组成。

（1）绘出共聚物组成曲线的示意图

共聚物组成曲线描述了共聚物中某一单体的摩尔分数 $F_1$ 与原料单体中该单体的摩尔分数 $f_1$ 之间的关系。
已知竞聚率 $r_1 = 5.0$，$r_2 = 0.2$，根据共聚物组成方程：
$F_1=\frac{r_1f_1^2 + f_1f_2}{r_1f_1^2 + 2f_1f_2 + r_2f_2^2}$
其中 $f_2=1 - f_1$，将其代入上式可得：
$F_1=\frac{r_1f_1^2 + f_1(1 - f_1)}{r_1f_1^2 + 2f_1(1 - f_1) + r_2(1 - f_1)^2}$
当 $f_1 = 0$ 时，$F_1 = 0$；当 $f_1 = 1$ 时，$F_1 = 1$，所以曲线从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$。
对 $F_1$ 关于 $f_1$ 求导，可分析曲线的单调性和凹凸性，从而确定曲线呈 $S$ 形弯曲。
当 $f_1 = 0.5$ 时，代入共聚物组成方程：
$F_1=\frac{5.0\times0.5^2 + 0.5\times(1 - 0.5)}{5.0\times0.5^2 + 2\times0.5\times(1 - 0.5) + 0.2\times(1 - 0.5)^2}$
$=\frac{5.0\times0.25 + 0.25}{5.0\times0.25 + 0.5 + 0.2\times0.25}$
$=\frac{1.25 + 0.25}{1.25 + 0.5 + 0.05}$
$=\frac{1.5}{2}$
$= 0.833$

（2）若 $f_1 = 0.5$，计算低转化率时共聚物的平均组成

在低转化率时，可认为原料单体的组成不变，即 $f_1 = 0.5$，$f_2 = 1 - f_1 = 0.5$。
根据共聚物组成方程：
$F_1=\frac{r_1f_1^2 + f_1f_2}{r_1f_1^2 + 2f_1f_2 + r_2f_2^2}$
将 $r_1 = 5.0$，$r_2 = 0.2$，$f_1 = 0.5$，$f_2 = 0.5$ 代入上式：
$F_1=\frac{5.0\times0.5^2 + 0.5\times0.5}{5.0\times0.5^2 + 2\times0.5\times0.5 + 0.2\times0.5^2}$
$=\frac{5.0\times0.25 + 0.25}{5.0\times0.25 + 0.5 + 0.2\times0.25}$
$=\frac{1.25 + 0.25}{1.25 + 0.5 + 0.05}$
$=\frac{1.5}{2}$
$= 0.833$
因为 $F_1 + F_2 = 1$，所以 $F_2 = 1 - F_1 = 1 - 0.833 = 0.167$