回答下列问题． (1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变εs等于直径方向的线应变εd． (2)一根直径为d=10mm的圆截面杆，在轴向拉力F作用下，直径减小0.0025mm．如材料的弹性模量E=210GPa，泊松比ν=0.3．试求轴向拉力F． (3)空心圆截面钢杆，外直径D=120mm，内直径d=60mm，材料的泊松比ν=0.3．当其受轴向拉伸时，已知纵向线应变ε=0.001，试求其变形后的壁厚δ．

轴向拉伸/压缩杆件的变形分析是本题的核心。需掌握以下要点：

1. 泊松比：材料横向应变与纵向应变的比值（绝对值），反映材料横向变形特性。
2. 各向同性假设：横截面上各点横向应变相同，圆周方向与直径方向的线应变相等。
3. 胡克定律：应力与应变线性关系，结合泊松比可求解应力、应变及外力。
4. 空心圆杆变形：纵向应变引起横向尺寸变化，需分别计算内外半径变化后的壁厚。

第（1）题

关键思路：
在轴向拉伸（压缩）时，横截面上各点的横向应变相同。

• 横向应变定义：直径方向的线应变 $\varepsilon_d = \frac{\Delta d}{d}$。
• 圆周方向应变：圆周长度变化量 $\Delta L = \pi \Delta d$，故 $\varepsilon_s = \frac{\Delta L}{L} = \frac{\pi (d + \Delta d) - \pi d}{\pi d} = \frac{\Delta d}{d} = \varepsilon_d$。
• 结论：$\varepsilon_s = \varepsilon_d$。

第（2）题

步骤分解：

1. 计算横向应变：
   $\varepsilon_{\text{横向}} = \frac{\Delta d}{d} = \frac{-0.0025}{10} = -0.00025$。
2. 求纵向应变：
   $\nu = \frac{|\varepsilon_{\text{横向}}|}{\varepsilon_{\text{纵向}}} \implies \varepsilon_{\text{纵向}} = \frac{0.00025}{0.3} \approx 0.0008333$。
3. 求应力：
   $\sigma = E \varepsilon_{\text{纵向}} = 210 \times 10^9 \times 0.0008333 \approx 175 \times 10^6 \, \text{Pa}$。
4. 求拉力：
   $F = \sigma A = 175 \times 10^6 \times \frac{\pi (0.01)^2}{4} \approx 13.74 \, \text{kN}$。

第（3）题

步骤分解：

1. 计算横向应变：
   $\varepsilon_{\text{横向}} = -\nu \varepsilon_{\text{纵向}} = -0.3 \times 0.001 = -0.0003$。
2. 变形后半径：
   • 外半径：$R' = R (1 + \varepsilon_{\text{横向}}) = 60 \times (1 - 0.0003) = 59.982 \, \text{mm}$。
   • 内半径：$r' = r (1 + \varepsilon_{\text{横向}}) = 30 \times (1 - 0.0003) = 29.991 \, \text{mm}$。
3. 壁厚计算：
   $\delta = R' - r' = 59.982 - 29.991 = 29.991 \, \text{mm} \approx 29.99 \, \text{mm}$。