题目
边长 a=0.1m 的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图-|||-7-9(a) 所示。已知铜的弹性模量 =100 GPa, 泊松比 mu =0.34, 当受到 F=300kN 的均布压力-|||-作用时,求该铜块的主应力,体应变以及最大切应力。-|||-F a-|||-上 /-|||-(a)-|||-图 7-9
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算铜块横截面上的压应力
铜块受到的均布压力为 F=300kN，横截面积为 A=a^2=0.1m * 0.1m=0.01m^2。因此，铜块横截面上的压应力为：
${\sigma }_{3}=-\dfrac {F}{A}=-\dfrac {300\times {10}^{3}}{{0.1}^{2}}=-30MPa$
步骤 2：根据广义胡克定律计算主应力
根据广义胡克定律，铜块的主应力可以表示为：
${e}_{1}=\dfrac {1}{E}[ {\alpha }_{1}-\mu ({\alpha }_{2}+{\sigma }_{3})]$
${e}_{2}=\dfrac {1}{E}[ {\alpha }_{2}-\mu ({\alpha }_{1}+{\sigma }_{3})]$
解得：
${a}_{1}={a}_{i}=\dfrac {u(1+u)}{1-{u}^{2}}{a}_{3}=\dfrac {0.34(1+0.34)}{1-{0.34}^{2}}\times (-30)$
步骤 3：计算体应变和最大切应力
铜块的主应力为 ${a}_{i}={a}_{i}=-15.5\quad N\cap {a}_{i}{a}_{3}=-30\quad N/Pa$，体应变为：
$\rho =\dfrac {1-2}{\rho }(m-m+mi)=\dfrac {-3-2.5}{10000}\quad \therefore 1-15.5\times 2-9=1.5\times 11-11$
最大切应力为：
${I}_{max}=\dfrac {1}{2}({a}_{1}-{a}_{3})=7.25MPa$
铜块受到的均布压力为 F=300kN，横截面积为 A=a^2=0.1m * 0.1m=0.01m^2。因此，铜块横截面上的压应力为：
${\sigma }_{3}=-\dfrac {F}{A}=-\dfrac {300\times {10}^{3}}{{0.1}^{2}}=-30MPa$
步骤 2：根据广义胡克定律计算主应力
根据广义胡克定律，铜块的主应力可以表示为：
${e}_{1}=\dfrac {1}{E}[ {\alpha }_{1}-\mu ({\alpha }_{2}+{\sigma }_{3})]$
${e}_{2}=\dfrac {1}{E}[ {\alpha }_{2}-\mu ({\alpha }_{1}+{\sigma }_{3})]$
解得：
${a}_{1}={a}_{i}=\dfrac {u(1+u)}{1-{u}^{2}}{a}_{3}=\dfrac {0.34(1+0.34)}{1-{0.34}^{2}}\times (-30)$
步骤 3：计算体应变和最大切应力
铜块的主应力为 ${a}_{i}={a}_{i}=-15.5\quad N\cap {a}_{i}{a}_{3}=-30\quad N/Pa$，体应变为：
$\rho =\dfrac {1-2}{\rho }(m-m+mi)=\dfrac {-3-2.5}{10000}\quad \therefore 1-15.5\times 2-9=1.5\times 11-11$
最大切应力为：
${I}_{max}=\dfrac {1}{2}({a}_{1}-{a}_{3})=7.25MPa$