题目

4.某理想塑性材料,其屈服应力为100(单位:10MPa),某点的应力状态为:-|||-Z-|||-l -30 σii= 0 23 ×10 0 3 15 MPa -|||-Y-|||-将其各应力分量画在如图所示的应力单元图中,并判断该点处于什么状态-|||-(弹性/塑性)?

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查应力张量的对称性、主应力计算及Mises屈服准则的应用。
解题思路：

  1. 绘制应力单元图：需明确各应力分量的符号与位置，注意应力张量的对称性。
  2. 判断材料状态：通过计算等效应力并与屈服应力比较，判断是否屈服。
    关键点：
  • 应力张量必须对称，需修正题目中可能的排版错误。
  • Mises屈服准则的等效应力公式：$\sigma_{\text{eq}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}$。

1. 应力单元图绘制

根据对称性修正后的应力张量为：
$\boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix}0 & -300 & 150 \\-300 & 0 & 30 \\150 & 30 & 0\end{bmatrix} \, \text{MPa}$
将各分量标注在应力单元图中：

  • 正应力：$\sigma_{xx}=0$，$\sigma_{yy}=0$，$\sigma_{zz}=0$
  • 剪应力：$\sigma_{xy}=-300$，$\sigma_{xz}=150$，$\sigma_{yz}=30$

2. 计算主应力

步骤1：计算不变量

  • 第一不变量：
    $I_1 = \sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz} = 0 + 0 + 0 = 0 \, \text{MPa}$
  • 第二不变量：
    $I_2 = \sigma_{xx}\sigma_{yy} + \sigma_{yy}\sigma_{zz} + \sigma_{zz}\sigma_{xx} - (\sigma_{xy}^2 + \sigma_{xz}^2 + \sigma_{yz}^2) \\ = 0 - [(-300)^2 + 150^2 + 30^2] = -113400 \, \text{MPa}^2$
  • 第三不变量：
    $I_3 = \begin{vmatrix} 0 & -300 & 150 \\ -300 & 0 & 30 \\ 150 & 30 & 0 \end{vmatrix} = -10080000 \, \text{MPa}^3$

步骤2：解三次方程

特征方程为：
$\sigma^3 - I_1 \sigma^2 - I_2 \sigma - I_3 = 0 \\ \Rightarrow \sigma^3 + 113400 \sigma + 10080000 = 0$
解得主应力：
$\sigma_1 = 240 \, \text{MPa}, \quad \sigma_2 = 140 \, \text{MPa}, \quad \sigma_3 = -300 \, \text{MPa}$

步骤3：计算等效应力

$\sigma_{\text{eq}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(240-140)^2 + (140+300)^2 + (-300-240)^2} \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{100^2 + 440^2 + (-540)^2} \approx 497.6 \, \text{MPa}$

步骤4：判断状态

$\sigma_{\text{eq}} = 497.6 \, \text{MPa} < \sigma_{\text{yield}} = 1000 \, \text{MPa}$
因此，材料处于弹性状态。