配位数和致密度相同的晶体结构是()A. 体心立方B. 密排六方C. 面心立方D. 简单立方

本题考查晶体结构中配位数和致密度的相关知识。解题思路是分别计算出各选项晶体结构的配位数和致密度，然后进行对比，找出配位数和致密度相同的晶体结构。

1. 体心立方（BCC）结构

• 配位数：体心立方结构中，每个原子周围最近邻且等距离的原子数为 8，所以配位数 $CN = 8$。
• 致密度：设原子半径为 $r$，体心立方晶胞的边长 $a=\frac{4r}{\sqrt{3}}$。体心立方晶胞中含有的原子数 $n = 2$（8 个顶点原子，每个顶点原子贡献$\frac{1}{8}$，体心 1 个原子，共$8\times\frac{1}{8}+1 = 2$个）。根据致密度公式$K=\frac{nV_{原子}}{V_{晶胞}}$，其中$V_{原子}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$，$V_{晶胞}=a^{3}=(\frac{4r}{\sqrt{3}})^{3}$，则致密度$K_{BCC}=\frac{2\times\frac{4}{3}\pi r^{3}}{(\frac{4r}{\sqrt{3}})^{3}}=\frac{\sqrt{3}\pi}{8}\approx0.68$。

2. 密排六方（HCP）结构

• 配位数：密排六方结构中，每个原子周围最近邻且等距离的原子数为 12，所以配位数 $CN = 12$。
• 致密度：设原子半径为 $r$，密排六方晶胞的底面边长 $a = 2r$，高 $c=\frac{2\sqrt{6}}{3}a=\frac{4\sqrt{6}}{3}r$。密排六方晶胞中含有的原子数 $n = 6$（12 个棱上原子，每个棱上原子贡献$\frac{1}{6}$，2 个面心原子，每个面心原子贡献$\frac{1}{2}$，3 个内部原子，共$12\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{2}+3 = 6$个）。晶胞体积$V_{晶胞}=3\sqrt{3}\frac{a^{2}}{2}c=3\sqrt{3}\frac{(2r)^{2}}{2}\times\frac{4\sqrt{6}}{3}r = 8\sqrt{6}r^{3}$，原子总体积$V_{原子}=n\times\frac{4}{3}\pi r^{3}=6\times\frac{4}{3}\pi r^{3}=8\pi r^{3}$。则致密度$K_{HCP}=\frac{V_{原子}}{V_{晶胞}}=\frac{8\pi r^{3}}{8\sqrt{6}r^{3}}=\frac{\sqrt{6}\pi}{8}\approx0.74$。

3. 面心立方（FCC）结构

• 配位数：面心立方结构中，每个原子周围最近邻且等距离的原子数为 12，所以配位数 $CN = 12$。
• 致密度：设原子半径为 $r$，面心立方晶胞的边长 $a = 2\sqrt{2}r$。面心立方晶胞中含有的原子数 $n = 4$（8 个顶点原子，每个顶点原子贡献$\frac{1}{8}$，6 个面心原子，每个面心原子贡献$\frac{1}{2}$，共$8\times\frac{1}{8}+6\times\frac{1}{2}=4$个）。晶胞体积$V_{晶胞}=a^{3}=(2\sqrt{2}r)^{3}=16\sqrt{2}r^{3}$，原子总体积$V_{原子}=n\times\frac{4}{3}\pi r^{3}=4\times\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{16}{3}\pi r^{3}$。则致密度$K_{FCC}=\frac{V_{原子}}{V_{晶胞}}=\frac{\frac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}r^{3}}=\frac{\sqrt{2}\pi}{6}\approx0.74$。

4. 简单立方（SC）结构

• 配位数：简单立方结构中，每个原子周围最近邻且等距离的原子数为 6，所以配位数 $CN = 6$。
• 致密度：设原子半径为 $r$，简单立方晶胞的边长 $a = 2r$。简单立方晶胞中含有的原子数 $n = 1$（8 个顶点原子，每个顶点原子贡献$\frac{1}{8}$，共$8\times\frac{1}{8}=1$个）。晶胞体积$V_{晶胞}=a^{3}=(2r)^{3}=8r^{3}$，原子体积$V_{原子}=\frac{4}{3}\pi r^{3}$。则致密度$K_{SC}=\frac{V_{原子}}{V_{晶胞}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{8r^{3}}=\frac{\pi}{6}\approx0.52$。

通过以上计算可知，密排六方和面对立方的配位数均为 12，致密度均约为 0.74。