题目

已知材料的机械性能为sigma_(mathrm{s)}=260mathrm(MPa)，sigma_(mathrm{a)}=170mathrm(MPa)，varphi_(mathrm{a)}=0.2。试绘制此材料试件的sigma_(mathrm{m)}-sigma_(mathrm{a)}简化极限应力图。

已知材料的机械性能为$\sigma_{\mathrm{s}}=260\mathrm{MPa}$，$\sigma_{\mathrm{a}}=170\mathrm{MPa}$，$\varphi_{\mathrm{a}}=0.2$。试绘制此材料试件的$\sigma_{\mathrm{m}}-\sigma_{\mathrm{a}}$简化极限应力图。

题目解答

答案

根据题目给出的参数： 1. 屈服极限线方程为：$\sigma_a = 260 - \sigma_m$，连接点 $(260, 0)$ 和 $(0, 260)$。 2. 疲劳极限线方程为：$\sigma_a = 170 - 0.2 \sigma_m$，连接点 $(0, 170)$ 和 $(112.5, 147.5)$。 3. 两线交点为： \[ \sigma_m = \frac{90}{0.8} = 112.5 \, \text{MPa}, \quad \sigma_a = 147.5 \, \text{MPa} \] 4. 简化极限应力图由两段直线组成： - 当 $0 \leq \sigma_m \leq 112.5$ 时，$\sigma_a = 170 - 0.2 \sigma_m$。 - 当 $112.5 < \sigma_m \leq 260$ 时，$\sigma_a = 260 - \sigma_m$。 最终图形如下： - 横轴为 $\sigma_m$，纵轴为 $\sigma_a$。 - 屈服极限线：$(260, 0) \to (0, 260)$。 - 疲劳极限线：$(0, 170) \to (112.5, 147.5)$。 - 两线在 $(112.5, 147.5)$ 处相交。 （注：此处无法直接绘图，但可按上述描述绘制。）

解析

本题考查材料力学中极限应力图的绘制，解题的关键在于根据给定的材料机械性能参数，分别确定屈服极限线和疲劳极限线的方程，找到两线的交点，从而确定简化极限应力图的分段函数表达式。

  1. 确定屈服极限线方程：
    • 对于塑性材料，屈服极限线是一条直线，其方程为$\sigma_{\mathrm{a}}=\sigma_{\mathrm{s}} - \sigma_{\mathrm{m}}$。
    • 已知$\sigma_{\mathrm{s}} = 260\mathrm{MPa}$，将其代入方程可得$\sigma_{\mathrm{a}} = 260 - \sigma_{\mathrm{m}}$。
    • 当$\sigma_{\mathrm{a}} = 0$时，$0 = 260 - \sigma_{\mathrm{m}}$，解得$\sigma_{\mathrm{m}} = 260\mathrm{MPa}$，得到点$(260, 0)$。
    • 当$\sigma_{\mathrm{m}} = 0$时，$\sigma_{\mathrm{a}} = 260 - 0 = 260\mathrm{MPa}$，得到点$(0, 260)$。
    • 所以屈服极限线连接点$(260, 0)$和$(0, 260)$。
  2. 确定疲劳极限线方程：
    • 疲劳极限线方程为$\sigma_{\mathrm{a}}=\sigma_{\mathrm{a}} - \varphi_{\mathrm{a}}\sigma_{\mathrm{m}}$。
    • 已知$\sigma_{\mathrm{a}} = 170\mathrm{MPa}$，$\varphi_{\mathrm{a}} = 0.2$，代入可得$\sigma_{\mathrm{a}} = 170 - 0.2\sigma_{\mathrm{m}}$。
    • 当$\sigma_{\mathrm{m}} = 0$时，$\sigma_{\mathrm{a}} = 170 - 0.2\times0 = 170\mathrm{MPa}$，得到点$(0, 170)$。
    • 当$\sigma_{\mathrm{a}} = 0$时，$0 = 170 - 0.2\sigma_{\mathrm{m}}$，移项可得$0.2\sigma_{\mathrm{m}} = 170$，解得$\sigma_{\mathrm{m}}=\frac{170}{0.2}=850\mathrm{MPa}$。
    • 为了找到与屈服极限线的交点，联立屈服极限线方程$\sigma_{\mathrm{a}} = 260 - \sigma_{\mathrm{m}}$和疲劳极限线方程$\sigma_{\mathrm{a}} = 170 - 0.2\sigma_{\mathrm{m}}$，可得$260 - \sigma_{\mathrm{m}} = 170 - 0.2\sigma_{\mathrm{m}}$。
    • 移项可得$-\sigma_{\mathrm{m}} + 0.2\sigma_{\mathrm{m}} = 170 - 260$，即$-0.8\sigma_{\mathrm{m}} = -90$。
    • 两边同时除以$-0.8$，解得$\sigma_{\mathrm{m}}=\frac{90}{0.8}=112.5\mathrm{MPa}$。
    • 将$\sigma_{\mathrm{m}} = 112.5\mathrm{MPa}$代入$\sigma_{\mathrm{a}} = 260 - \sigma_{\mathrm{m}}$，可得$\sigma_{\mathrm{a}} = 260 - 112.5 = 147.5\mathrm{MPa}$，所以疲劳极限线连接点$(0, 170)$和$(112.5, 147.5)$。
  3. 确定简化极限应力图的分段函数：
    • 当$0 \leq \sigma_{\mathrm{m}} \leq 112.5$时，材料先发生疲劳破坏，此时极限应力由疲劳极限线决定，即$\sigma_{\mathrm{a}} = 170 - 0.2\sigma_{\mathrm{m}}$。
    • 当$112.5 \lt \sigma_{\mathrm{m}} \leq 260$时，材料先发生屈服破坏，此时极限应力由屈服极限线决定，即$\sigma_{\mathrm{a}} = 260 - \sigma_{\mathrm{m}}$。