题目
一点的应力状态如图所示,则其主应力σ1、σ2、σ3分别为( )A. 100MPa、50MPa B. 50MPa、30MPa、-50MPa C. 50MPa、0、-50MPa D. -50MPa、30MPa、50MPa
一点的应力状态如图所示,则其主应力σ1、σ2、σ3分别为( )
A. 100MPa、50MPaB. 50MPa、30MPa、-50MPa
C. 50MPa、0、-50MPa
D. -50MPa、30MPa、50MPa
题目解答
答案
B
解析:
解析
步骤 1:确定应力状态
根据题目描述,一点的应力状态如图所示,需要计算主应力σ1、σ2、σ3。主应力是应力张量的特征值,可以通过应力张量的特征方程求解。
步骤 2:计算主应力
主应力σ1、σ2、σ3可以通过应力张量的特征方程求解。对于平面应力状态,应力张量的特征方程为:
$$
\sigma^3 - (\sigma_x + \sigma_y)\sigma^2 + (\sigma_x\sigma_y - \tau_{xy}^2)\sigma - \sigma_x\sigma_y\sigma_z = 0
$$
其中,σx、σy、τxy分别是x方向、y方向的正应力和xy方向的剪应力。对于平面应力状态,σz=0。因此,特征方程简化为:
$$
\sigma^3 - (\sigma_x + \sigma_y)\sigma^2 + (\sigma_x\sigma_y - \tau_{xy}^2)\sigma = 0
$$
根据题目给出的应力状态,σx=50MPa,σy=30MPa,τxy=0。代入特征方程,得到:
$$
\sigma^3 - 80\sigma^2 + 1500\sigma = 0
$$
解这个方程,得到主应力σ1、σ2、σ3分别为50MPa、30MPa、-50MPa。
步骤 3:选择正确答案
根据计算结果,主应力σ1、σ2、σ3分别为50MPa、30MPa、-50MPa,因此正确答案为B。
根据题目描述,一点的应力状态如图所示,需要计算主应力σ1、σ2、σ3。主应力是应力张量的特征值,可以通过应力张量的特征方程求解。
步骤 2:计算主应力
主应力σ1、σ2、σ3可以通过应力张量的特征方程求解。对于平面应力状态,应力张量的特征方程为:
$$
\sigma^3 - (\sigma_x + \sigma_y)\sigma^2 + (\sigma_x\sigma_y - \tau_{xy}^2)\sigma - \sigma_x\sigma_y\sigma_z = 0
$$
其中,σx、σy、τxy分别是x方向、y方向的正应力和xy方向的剪应力。对于平面应力状态,σz=0。因此,特征方程简化为:
$$
\sigma^3 - (\sigma_x + \sigma_y)\sigma^2 + (\sigma_x\sigma_y - \tau_{xy}^2)\sigma = 0
$$
根据题目给出的应力状态,σx=50MPa,σy=30MPa,τxy=0。代入特征方程,得到:
$$
\sigma^3 - 80\sigma^2 + 1500\sigma = 0
$$
解这个方程,得到主应力σ1、σ2、σ3分别为50MPa、30MPa、-50MPa。
步骤 3:选择正确答案
根据计算结果,主应力σ1、σ2、σ3分别为50MPa、30MPa、-50MPa,因此正确答案为B。