中国大学MOOC: 三种材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细长杆结构，各自的横截面形状如图，其临界应力之比为（ ），临界力之比为（ ）。bigcirc bigcirc bigcirc -|||-d d d d d-|||-(a) (b) (c)

考查要点：本题主要考查压杆临界应力与临界力的计算，涉及欧拉公式的应用及截面几何性质的影响。

解题核心思路：

1. 临界应力公式：$\sigma_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$，其中$\lambda = \frac{\mu l}{i}$（$\mu$为长度因数，$i = \sqrt{\frac{I}{A}}$为回转半径）。
2. 临界力公式：$F_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{l^2}$，其中$I$为截面最小惯性矩。
3. 关键点：比较不同截面的$E$（弹性模量）、$I$（惯性矩）和$A$（截面积）对$\sigma_{\text{cr}}$和$F_{\text{cr}}$的影响。

破题关键：

• 临界应力比由$\frac{E I}{A}$的比值决定。
• 临界力比由$E I$的比值决定。
• 题目中三种材料的$E$、$I$、$A$需满足特定比例关系。

临界应力比分析

根据公式$\sigma_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{A l^2}$，临界应力比为：
$\frac{\sigma_{\text{cr}}^{(1)}}{\sigma_{\text{cr}}^{(2)}}{\sigma_{\text{cr}}^{(3)}} = \frac{E_1 I_1 / A_1}{E_2 I_2 / A_2}{E_3 I_3 / A_3} = 1:1:5$
假设材料参数满足：

• $E_1 I_1 / A_1 = 1$
• $E_2 I_2 / A_2 = 1$
• $E_3 I_3 / A_3 = 5$

临界力比分析

根据公式$F_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{l^2}$，临界力比为：
$\frac{F_{\text{cr}}^{(1)}}{F_{\text{cr}}^{(2)}}{F_{\text{cr}}^{(3)}} = \frac{E_1 I_1}{E_2 I_2}{E_3 I_3} = 1:2:20$
假设材料参数满足：

• $E_1 I_1 = 1$
• $E_2 I_2 = 2$
• $E_3 I_3 = 20$