[例题2.3.4]一污水池内有50m^3污水,温度为15℃,为加速消化过程,需-|||-将其加热到35℃。采用外循环法加热,使污水以 (m)^3/h 的流量通过换热器,换-|||-热器用水蒸气加热,其出口温度恒定为100℃。假设罐内污水混合均匀,污水的-|||-密度为 /(m)^3, 不考虑池的散热,问污水加热到所需温度需要多少时间?-|||-=5(m)^3/h-|||-_(3)=(100)^circ C-|||-=50(m)^3-|||-水蒸气 T-|||-凝-|||-图2.3.2 例题2.3.4附图

考查要点：本题主要考查非稳态传热过程中的能量平衡分析，涉及外循环加热系统的动态温度变化计算。关键在于建立温度随时间变化的微分方程，并通过积分求解所需时间。

解题核心思路：

1. 能量守恒：单位时间内注入的热量等于池内污水温度升高所吸收的热量。
2. 动态平衡：由于污水混合均匀，池内温度随时间变化，需建立微分方程描述温度变化规律。
3. 积分求解：通过分离变量法对微分方程积分，结合初始条件和目标温度求出时间。

破题关键点：

• 正确写出能量平衡方程，明确输入（换热器注入的热量）与输出（排出污水带走的热量）。
• 简化假设：忽略池的散热，污水密度恒定，比热容视为常数。
• 变量分离积分：将微分方程转化为可积分形式，注意积分上下限的对应关系。

能量平衡方程建立

以污水池为衡算系统，单位时间内的能量变化满足：
$q_v c_p T_3 - q_v c_p T = V c_p \frac{dT}{dt}$
其中：

• $q_v$ 为流量（$5 \, \text{m}^3/\text{h}$），$T_3$ 为换热器出口温度（$100^\circ \text{C}$），$V$ 为池体积（$50 \, \text{m}^3$）。
• $c_p$ 为污水比热容（水的比热容，$4.18 \, \text{kJ}/\text{kg} \cdot \text{K}$，但计算中被约去）。

微分方程化简

约去 $c_p$ 后得：
$\frac{dT}{dt} = \frac{q_v}{V} (T_3 - T)$
分离变量并积分：
$\int_{T_1}^{T_2} \frac{dT}{T_3 - T} = \int_0^t \frac{q_v}{V} dt$
代入边界条件 $T_1 = 15^\circ \text{C}$，$T_2 = 35^\circ \text{C}$，得：
$\ln \frac{100 - 15}{100 - 35} = \frac{q_v}{V} t$
解得：
$t = \frac{V}{q_v} \ln \frac{100 - 15}{100 - 35}$

代入数据计算

$t = \frac{50}{5} \ln \frac{85}{65} \approx 10 \times 0.268 = 2.68 \, \text{小时}$