题目
已知应力状态如图所示,图中应力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求:-|||-(1)主应力大小,主平面的方位;-|||-(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向;-|||-(3)最大切应力。-|||-20 25-|||-square 50 square 20 square -|||-50-|||-(a) (b) (c)-|||-20 80 30-|||-square 40 square 20 square 20-|||-40-|||-20-|||-(d) (e) (f)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定主应力和主平面方位
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力和主平面的方位。主应力是应力状态下的最大和最小正应力，而主平面是这些应力作用的平面。我们可以通过解析法和图解法来求解。
步骤 2：解析法求解主应力和主平面方位
解析法求解主应力和主平面方位，我们使用应力状态的解析公式。对于平面应力状态，主应力可以通过以下公式求解：
\[
{\sigma }_{1,3} = \frac{{\sigma }_{x} + {\sigma }_{y}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{{\sigma }_{x} - {\sigma }_{y}}{2}\right)^2 + {\tau }_{xy}^2}
\]
其中，${\sigma }_{x}$ 和 ${\sigma }_{y}$ 是主轴方向上的正应力，${\tau }_{xy}$ 是剪应力。主平面的方位可以通过以下公式求解：
\[
\tan(2{\alpha }_{0}) = \frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x} - {\sigma }_{y}}
\]
其中，${\alpha }_{0}$ 是主平面与 ${\sigma }_{x}$ 方向的夹角。
步骤 3：图解法求解主应力和主平面方位
图解法求解主应力和主平面方位，我们使用应力圆。应力圆的中心位于 ${\sigma }_{x} + {\sigma }_{y}$ 的中点，半径为 $\sqrt{\left(\frac{{\sigma }_{x} - {\sigma }_{y}}{2}\right)^2 + {\tau }_{xy}^2}$。主应力对应于应力圆与 ${\sigma }$ 轴的交点，主平面的方位对应于应力圆与 ${\tau }$ 轴的交点。
步骤 4：确定最大切应力
最大切应力可以通过以下公式求解：
\[
{\tau }_{max} = \frac{{\sigma }_{1} - {\sigma }_{3}}{2}
\]
其中，${\sigma }_{1}$ 和 ${\sigma }_{3}$ 是主应力。
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力和主平面的方位。主应力是应力状态下的最大和最小正应力，而主平面是这些应力作用的平面。我们可以通过解析法和图解法来求解。
步骤 2：解析法求解主应力和主平面方位
解析法求解主应力和主平面方位，我们使用应力状态的解析公式。对于平面应力状态，主应力可以通过以下公式求解：
\[
{\sigma }_{1,3} = \frac{{\sigma }_{x} + {\sigma }_{y}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{{\sigma }_{x} - {\sigma }_{y}}{2}\right)^2 + {\tau }_{xy}^2}
\]
其中，${\sigma }_{x}$ 和 ${\sigma }_{y}$ 是主轴方向上的正应力，${\tau }_{xy}$ 是剪应力。主平面的方位可以通过以下公式求解：
\[
\tan(2{\alpha }_{0}) = \frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x} - {\sigma }_{y}}
\]
其中，${\alpha }_{0}$ 是主平面与 ${\sigma }_{x}$ 方向的夹角。
步骤 3：图解法求解主应力和主平面方位
图解法求解主应力和主平面方位，我们使用应力圆。应力圆的中心位于 ${\sigma }_{x} + {\sigma }_{y}$ 的中点，半径为 $\sqrt{\left(\frac{{\sigma }_{x} - {\sigma }_{y}}{2}\right)^2 + {\tau }_{xy}^2}$。主应力对应于应力圆与 ${\sigma }$ 轴的交点，主平面的方位对应于应力圆与 ${\tau }$ 轴的交点。
步骤 4：确定最大切应力
最大切应力可以通过以下公式求解：
\[
{\tau }_{max} = \frac{{\sigma }_{1} - {\sigma }_{3}}{2}
\]
其中，${\sigma }_{1}$ 和 ${\sigma }_{3}$ 是主应力。