题目
9.5已知单元体的应力状态如图所示。试求:1)主应力的大小及主平面方位;2 )并在图中绘出主单元-|||-体;3)最大切应力(应力单位:MPa)。-|||-A 40-|||-10-|||-50-|||-20 square 20-|||-(a) (b)-|||-30-|||-square 20-|||-20-|||-(c)-|||-习题9.5图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定主应力
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力。主应力是应力状态下的三个最大和最小的正应力。对于平面应力状态，我们有三个应力分量：${\sigma }_{x}$, ${\sigma }_{y}$, 和 ${\tau }_{xy}$。主应力可以通过求解特征方程得到，特征方程为：
$det\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{x}-{\sigma }_{}& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{xy}& {\sigma }_{y}-{\sigma }_{}\end{array}\right]=0$
步骤 2：计算主应力
对于每个给定的应力状态，我们分别计算主应力。对于(a)、(b)、(c)三个情况，我们分别有：
(a) ${\sigma }_{x}=50MPa$, ${\sigma }_{y}=10MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$
(b) ${\sigma }_{x}=40MPa$, ${\sigma }_{y}=30MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$
(c) ${\sigma }_{x}=30MPa$, ${\sigma }_{y}=0MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$
步骤 3：计算主平面方位
主平面方位可以通过求解以下方程得到：
$tan2{\alpha }_{0}=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
步骤 4：计算最大切应力
最大切应力可以通过以下公式计算：
${T}_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力。主应力是应力状态下的三个最大和最小的正应力。对于平面应力状态，我们有三个应力分量：${\sigma }_{x}$, ${\sigma }_{y}$, 和 ${\tau }_{xy}$。主应力可以通过求解特征方程得到，特征方程为：
$det\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{x}-{\sigma }_{}& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{xy}& {\sigma }_{y}-{\sigma }_{}\end{array}\right]=0$
步骤 2：计算主应力
对于每个给定的应力状态，我们分别计算主应力。对于(a)、(b)、(c)三个情况，我们分别有：
(a) ${\sigma }_{x}=50MPa$, ${\sigma }_{y}=10MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$
(b) ${\sigma }_{x}=40MPa$, ${\sigma }_{y}=30MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$
(c) ${\sigma }_{x}=30MPa$, ${\sigma }_{y}=0MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$
步骤 3：计算主平面方位
主平面方位可以通过求解以下方程得到：
$tan2{\alpha }_{0}=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
步骤 4：计算最大切应力
最大切应力可以通过以下公式计算：
${T}_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$