证明:体心立方晶格的倒格子是面心立方;面心立方晶格的倒格子是体心立方 。

本题考察倒格子的定义及体心立方、面心立方晶格的基矢运算，核心是通过倒格子基矢公式推导验证体心立方与面面心立方晶格的倒格子互易性。

一、关键公式与定义

倒格子基矢公式为：
$\vec{b}_1 = 2\pi \frac{\vec{a}_2 \times \vec{a}_3}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)}, \quad \vec{b}_2 = 2\pi \frac{\vec{a}_3 \times \vec{a}_1}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)}, \quad \vec{b}_3 = 2\pi \frac{\vec{a}_1 \times \vec{a}_2}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)}$
其中，其中$\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$为正格子原胞基矢，$\vec{a}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3$为倒格子基矢。

二、体心立方（BCC）的倒格子是面心立方（FCC）

1. 体心立方原胞基矢

体心立方晶格的原胞基矢为：
$\vec{a}_1 = \frac{a}{2}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}), \quad \vec{a}_2 = \frac{a}{2}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}), \quad \vec{a}_3 = \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$

2. 计算倒格子基矢

• 正格子原胞体积$v_0$：
  $v_0 = \vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3) = \left(\frac{a}{2}\right)^3 [(-1,1,1) \cdot ((1,-1,1) \times (1,1,-1))] = \frac{a^3}{8} \cdot 4 = \frac{a^3}{2}$

• 倒格子基矢$\vec{b}_1$：
  $\vec{b}_1 = 2\pi \frac{\vec{a}_2 \times \vec{a}_3}}{v_0} = 2\pi \frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2 [(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \times (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})]}{\frac{a^3}{2}} = \frac{2\pi}{a}(\hat{j} + \hat{k})$

• 同理得$\vec{b}_2,\vec{b}_3$：
  $\vec{b}_2 = \frac{2\pi}{a}(\hat{i} + \hat{k}), \quad \vec{b}_3} = \frac{2\pi}{a}(\hat{i} + \hat{j})$

3. 结论

$\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3$是面心立方晶格的基矢，故体心立方的倒格子为面心立方。

三、面心立方（FCC）的倒格子是体心立方（BCC）

1. 面心立方原胞基矢

面心立方晶格原胞基矢为：
$\vec{a}_1 = \frac{a}{2}(\hat{j} + \hat{k}), \quad \vec{a}_2 = \frac{a}{2}(\hat{k} + \hat{i}), \quad \vec{a}_3 = \frac{a}{2}(\hat{i} + \hat{j})$

2. 计算倒格子基矢

• 正格子原胞体积$v_0$：
  $v_0 = \vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3) = \left(\frac{a}{2}\right)^3 [(0,1,1) \cdot ((0,0,1) \times (1,1,0))] = \frac{a^3}{8} \cdot 1 = \frac{a^3}{8}$

• 倒格子基矢$\vec{b}_1$：
  $\vec{b}_1 = 2\pi \frac{\vec{a}_2 \times \vec{a}_3}{v_0} = 2\pi \frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2 [(\hat{k}+\hat{i}) \times (\hat{i}+\hat{j})]}{\frac{a^3}{8}} = \frac{2\pi}{a}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$

• 同理得$\vec{b}_2,\vec{b}_3$：
  $\vec{b}_2 = \frac{2\pi}{a}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}), \quad \vec{b}_3 = \frac{2\pi}{a}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$

3. 结论$\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3$是体心立方晶格的基矢，故面心立方倒格子为体心立方。