题目
12.计算面心立方结构(111)、(110)、(100)晶面的面间距和单位面积上的原子个数。
题目解答
答案
解析
本题主要考察面心立方结构中不同晶面（(111)、(110)、(100)）的面间距和单位面积上原子个数的计算。解题思路如下：
面间距计算
对于立方晶系，面间距公式为$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$，其中$a$为晶格常数，$(hkl)$为晶面指数。但对于面心立方结构，(110)和(100)晶面的面间距计算需要考虑原子的分布情况，实际面间距是公式计算结果的一半。
- (111)晶面：
将$h = 1$，$k = 1$，$l = 1$代入面间距公式$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$，可得：
$d_{(111)}=\frac{a}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$ - (110)晶面：
先将$h = 1$，$k = 1$，$l = 0$代入面间距公式得$\frac{a}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$，由于面心立方结构的特殊性，实际面间距为其一半，即：
$d_{(110)}=\frac{a}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}}\times\frac{1}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}a$ - (100)晶面：
将$h = 1$，$k = 0$，$l = 0$代入面间距公式得$\frac{a}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}}=a$，同样因为面心立方结构，实际面间距为其一半，即：
$d_{(100)}=\frac{a}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}}\times\frac{1}{2}=a\times\frac{1}{2}=\frac{a}{2}$
单位面积上原子个数计算
单位面积上原子个数$n$的计算公式为$n=\frac{晶面内原子总数}{晶面面积}$。计算晶面内原子总数时，需要考虑原子的归属情况，顶点原子算$\frac{1}{6}$，棱上原子算$\frac{1}{2}$，面上原子算$1$。
- (111)晶面：
(111)晶面是正三角形，顶点有$3$个原子，每个顶点原子属于$6$个晶面，所以每个顶点原子对该晶面的贡献为$\frac{1}{6}$；面心有$3$个原子，每个面心原子属于$2$个晶面，所以每个面心原子对该晶面的贡献为$\frac{1}{2}$。则晶面内原子总数为$3\times\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{2}= \frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$。
正三角形的边长为$\sqrt{2}a$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$（其中$a,b$为两边长度，$C$为夹角），可得该晶面面积为$\frac{1}{2}\times\sqrt{2}a\times\sqrt{2}a\times\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\times2a^{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}$。
所以单位面积上原子个数为：
$n_{(111)}=\frac{3\times\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times\sqrt{2}a\times\sqrt{2}a\times\sin60^{\circ}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}a^{2}}\approx\frac{2.309}{a^{2}}$ - (110)晶面：
(110)晶面是矩形，顶点有$4$个原子，每个顶点原子属于$4$个晶面，所以每个顶点原子对该晶面的贡献为$\frac{1}{4}$；棱上有$2$个原子，每个棱上原子属于$2$个晶面，所以每个棱上原子对该晶面的贡献为$\frac{1}{2}$。则晶面内原子总数为$4\times\frac{1}{4}+2\times\frac{1}{2}=1 + 1 = 2$。
该晶面的长为$\sqrt{2}a$，宽为$a$，所以晶面面积为$\sqrt{2}a\times a=\sqrt{2}a^{2}$。
所以单位面积上原子个数为：
$n_{(110)}=\frac{4\times\frac{1}{4}+2\times\frac{1}{2}}{\sqrt{2}a\times a}=\frac{2}{\sqrt{2}a^{2}}\approx\frac{1.414}{a^{2}}$ - (100)晶面：
(100)晶面是正方形，顶点有$4$个原子，每个顶点原子属于$4$个晶面，所以每个顶点原子对该晶面的贡献为$\frac{1}{4}$；面心有$1$个原子，属于该晶面，贡献为$1$。则晶面内原子总数为$4\times\frac{1}{4}+1=1 + 1 = 2$。
该晶面的边长为$a$，所以晶面面积为$a\times a=a^{2}$。
所以单位面积上原子个数为：
$n_{(100)}=\frac{4\times\frac{1}{4}+1}{a\times a}=\frac{2}{a^{2}}$
比较三个晶面单位面积上的原子个数$n_{(111)}\approx\frac{2.309}{a^{2}}$，$n_{(110)}\approx\frac{1.414}{a^{2}}$，$n_{(100)}=\frac{2}{a^{2}}$，可知$n_{(111)}$最大，所以(111)面为最密排面。