题目

某工厂在间歇反应器中进行两次实验，初始浓度相同并达到相同的转化率，第一次实验在 20^circmathrm(C) 下进行 8 天，第二次实验在 120^circmathrm(C) 下进行 10min，试估计反应活化能。

某工厂在间歇反应器中进行两次实验，初始浓度相同并达到相同的转化率，第一次实验在 $20^{\circ}\mathrm{C}$ 下进行 8 天，第二次实验在 $120^{\circ}\mathrm{C}$ 下进行 10min，试估计反应活化能。

题目解答

答案

根据题意，$ k_1 t_1 = k_2 t_2 $，结合阿伦尼乌斯方程可得： \[ E_a = \frac{R \ln \left( \frac{t_2}{t_1} \right)}{\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}} \] 将 $ T_1 = 293.15 \, K $，$ T_2 = 393.15 \, K $，$ t_1 = 691200 \, s $，$ t_2 = 600 \, s $ 代入： \[ \ln \left( \frac{t_2}{t_1} \right) = \ln \left( \frac{600}{691200} \right) \approx -7.05 \] \[ \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1} \approx -8.68 \times 10^{-4} \, \text{K}^{-1} \] \[ E_a = \frac{8.314 \times (-7.05)}{-8.68 \times 10^{-4}} \approx 67600 \, \text{J/mol} = 67.6 \, \text{kJ/mol} \] 最终结果：$ E_a \approx 67.6 \, \text{kJ/mol} $。

解析

本题考查化学反应动力学中活化能的计算，解题关键在于利用间歇反应器中反应时间与反应速率常数的关系，结合阿伦尼乌斯方程来求解活化能。

  1. 分析反应时间与反应速率常数的关系：
    • 对于间歇反应器，在初始浓度相同并达到相同转化率的情况下，反应时间 $t$ 与反应速率常数 $k$ 成反比，即 $k_1 t_1 = k_2 t_2$。这里 $k_1$、$t_1$ 分别是第一次实验的反应速率常数和反应时间，$k_2$、$t_2$ 分别是第二次实验的反应速率常数和反应时间。
  2. 引入阿伦尼乌斯方程：
    • 阿伦尼乌斯方程为 $k = A\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT}}$，其中 $A$ 是指前因子，$E_a$ 是反应活化能，$R$ 是气体常数（$R = 8.314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$），$T$ 是热力学温度。
    • 对于第一次实验有 $k_1 = A\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT_1}}$，对于第二次实验有 $k_2 = A\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT_2}}$。
    • 将 $k_1$、$k_2$ 代入 $k_1 t_1 = k_2 t_2$ 可得：$A\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT_1}}t_1 = A\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT_2}}t_2$。
    • 两边同时约去 $A$，得到 $\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT_1}}t_1 = \mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT_2}}t_2$。
    • 进一步变形为 $\frac{t_2}{t_1}=\mathrm{e}^{\frac{E_a}{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})}$。
    • 两边取自然对数可得 $\ln(\frac{t_2}{t_1})=\frac{E_a}{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})$。
    • 整理得到计算活化能的公式 $E_a = \frac{R\ln(\frac{t_2}{t_1})}{\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}}$。
  3. 单位换算：
    • 温度需要换算成热力学温度，$T_1=(20 + 273.15)\ \mathrm{K}=293.15\ \mathrm{K}$，$T_2=(120 + 273.15)\ \mathrm{K}=393.15\ \mathrm{K}$。
    • 时间单位统一换算成秒，$t_1 = 8\times24\times3600\ \mathrm{s}=691200\ \mathrm{s}$，$t_2 = 10\times60\ \mathrm{s}=600\ \mathrm{s}$。
  4. 计算相关值：
    • 计算 $\ln(\frac{t_2}{t_1})$：
      • $\ln(\frac{t_2}{t_1})=\ln(\frac{600}{691200})\approx - 7.05$。
    • 计算 $\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}$：
      • $\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{393.15}-\frac{1}{293.15}$
      • $=\frac{293.15 - 393.15}{393.15\times293.15}$
      • $=\frac{-100}{393.15\times293.15}\approx - 8.68\times10^{-4}\ \mathrm{K}^{-1}$。
  5. 计算活化能 $E_a$：
    • 将 $R = 8.314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$，$\ln(\frac{t_2}{t_1})\approx - 7.05$，$\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\approx - 8.68\times10^{-4}\ \mathrm{K}^{-1}$ 代入 $E_a = \frac{R\ln(\frac{t_2}{t_1})}{\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}}$ 可得：
      • $E_a=\frac{8.314\times(-7.05)}{-8.68\times10^{-4}}\ \mathrm{J/mol}\approx67600\ \mathrm{J/mol}$。
    • 因为 $1\ \mathrm{kJ}=1000\ \mathrm{J}$，所以 $E_a = 67600\div1000\ \mathrm{kJ/mol}=67.6\ \mathrm{kJ/mol}$。