已知应力状态如图所示(图中应力单位为MPa),试用图解法求:(1) 主应力的大小和主平面的方位;(2) 在单元体上绘出主平面的位置和主应力的方向;(3) 最大切应力。MPa(a) (b)题二、5图

步骤 1：确定应力状态
对于(a)图，应力状态为：${\sigma }_{x}=50MPa$, ${\sigma }_{y}=20MPa$, ${\tau }_{xy}=40MPa$。
对于(b)图，应力状态为：${\sigma }_{x}=-40MPa$, ${\sigma }_{y}=40MPa$, ${\tau }_{xy}=-20MPa$。

步骤 2：绘制应力圆
对于(a)图，取1-0坐标系，选定比例尺，作D1(50,20),${D}_{2}(0,-20)$两点，连${D}_{1}{D}_{2}$,交轴于C点，以C点为圆心，以${C}_{1}{D}_{1}$为半径作应力圆。
对于(b)图，取1-0坐标系，选定比例尺，作D1(-40,-40),${D}_{2}(-20,40)$两点，连${D}_{1}{D}_{2}$,交轴于C点，以C点为圆心，以${C}_{1}{D}_{1}$为半径作应力圆。

步骤 3：求解主应力和主平面方位
由应力圆，可以得到主应力的大小和主平面的方位。
对于(a)图，由应力圆得：${\sigma }_{1}=57.0MPa$, ${\sigma }_{2}=0$, ${\sigma }_{3}=-7.0MPa$，${\alpha }_{\square }=-{19.3}^{\circ }$ 或70.7°。
对于(b)图，由应力圆得：${\sigma }_{1}=11.2MPa$, ${\sigma }_{2}=0$, ${\sigma }_{3}=-71.2MPa$，${\alpha }_{\square }=-{38}^{\circ }$ 或52°。

步骤 4：求解最大切应力
最大切应力为：${\tau }_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$。
对于(a)图，${\tau }_{max}=\frac{57.0-(-7.0)}{2}=32MPa$。
对于(b)图，${\tau }_{max}=\frac{11.2-(-71.2)}{2}=41.2MPa$。