题目
如在液相中形成边长为 a 的立方体晶核时,求出“临界核胚”立方体边长 a*与 ΔG*。为什么立方体的 ΔG*大于球形 ΔG*?
如在液相中形成边长为 a 的立方体晶核时,求出“临界核胚”立方体边长 a*与 ΔG*。为什么立方体的 ΔG*大于球形 ΔG*?
题目解答
答案
解:
, 
,
,而
,
,当形成体积相同的核时(
),立方体表面积(6a3)>球形的表面积(
),则
,
。
解析
步骤 1：计算立方体晶核的自由能变化
立方体晶核的自由能变化由两部分组成：体积自由能变化和表面自由能变化。体积自由能变化为 $\Delta G_v$，表面自由能变化为 $\Delta G_s$。对于边长为 $a$ 的立方体，体积为 $a^3$，表面积为 $6a^2$。因此，立方体晶核的自由能变化为：
$$\Delta G_a = a^3 \Delta G_v + 6a^2 \gamma$$
其中，$\gamma$ 是表面能。
步骤 2：求解临界核胚的边长
临界核胚的边长 $a^*$ 是使自由能变化 $\Delta G_a$ 达到极小值的边长。对 $\Delta G_a$ 关于 $a$ 求导并令导数为零，得到：
$$\frac{\partial \Delta G_a}{\partial a} = 3a^2 \Delta G_v + 12a \gamma = 0$$
解得：
$$a^* = -\frac{4\gamma}{\Delta G_v}$$
由于 $\Delta G_v$ 为负值，$a^*$ 为正值。
步骤 3：计算临界自由能变化
将 $a^*$ 代入 $\Delta G_a$，得到临界自由能变化 $\Delta G^*$：
$$\Delta G^* = (a^*)^3 \Delta G_v + 6(a^*)^2 \gamma$$
代入 $a^* = -\frac{4\gamma}{\Delta G_v}$，得到：
$$\Delta G^* = \frac{64\gamma^3}{\Delta G_v^2}$$
步骤 4：比较立方体和球形的临界自由能变化
当形成体积相同的核时，立方体的表面积大于球形的表面积，因此立方体的表面自由能变化大于球形的表面自由能变化。因此，立方体的临界自由能变化 $\Delta G^*$ 大于球形的临界自由能变化 $\Delta G^*$。
立方体晶核的自由能变化由两部分组成：体积自由能变化和表面自由能变化。体积自由能变化为 $\Delta G_v$，表面自由能变化为 $\Delta G_s$。对于边长为 $a$ 的立方体，体积为 $a^3$，表面积为 $6a^2$。因此，立方体晶核的自由能变化为：
$$\Delta G_a = a^3 \Delta G_v + 6a^2 \gamma$$
其中，$\gamma$ 是表面能。
步骤 2：求解临界核胚的边长
临界核胚的边长 $a^*$ 是使自由能变化 $\Delta G_a$ 达到极小值的边长。对 $\Delta G_a$ 关于 $a$ 求导并令导数为零，得到：
$$\frac{\partial \Delta G_a}{\partial a} = 3a^2 \Delta G_v + 12a \gamma = 0$$
解得：
$$a^* = -\frac{4\gamma}{\Delta G_v}$$
由于 $\Delta G_v$ 为负值，$a^*$ 为正值。
步骤 3：计算临界自由能变化
将 $a^*$ 代入 $\Delta G_a$，得到临界自由能变化 $\Delta G^*$：
$$\Delta G^* = (a^*)^3 \Delta G_v + 6(a^*)^2 \gamma$$
代入 $a^* = -\frac{4\gamma}{\Delta G_v}$，得到：
$$\Delta G^* = \frac{64\gamma^3}{\Delta G_v^2}$$
步骤 4：比较立方体和球形的临界自由能变化
当形成体积相同的核时，立方体的表面积大于球形的表面积，因此立方体的表面自由能变化大于球形的表面自由能变化。因此，立方体的临界自由能变化 $\Delta G^*$ 大于球形的临界自由能变化 $\Delta G^*$。