单元体的最大剪应力= 。40MP a-|||-20MP a-|||-+|

答案 30MPa 答疑 σ1=40、σ2=20、σ3=-20,τmax=(σ1-σ3)/2

简述 二向应力状态分析

1、分别画出铸铁试件在拉伸、压缩、扭转试验中,危险点的应力状态;在单元体上标出破坏面的方位;在应力圆上标出所对应的破坏点,并说明引起破坏的原因。

答案

答疑

拉伸破坏由危险点处的最大拉应力引起;压缩破坏由与轴线成45度角的最大剪应力引起;扭转破坏由与轴线成4、5度角的最大拉应力引起。

2、用应力圆证明:在平面应力状态中,若某点的两个主应力的正负号相反,则该点必有两个正应力等于零的截面。

答疑 在平面应力状态中,若某点的两个主应力的正负号相反,说明应力圆与水平轴有两个交点,一个在原点的左侧,一个位于原点的右侧,如图所示。此圆与纵轴必定有两个交点,此二交点处的横坐标为零,纵坐标不为零;由于应力圆上的任何一点均代表一个平面。固两个交点处的横坐标为零说明:应力圆与纵轴的两个交点所代表的两个截面上的正应力为零。

3、根据剪应力互等定理,并结合杆表面上无剪应力的实际情况论证有任意形状截面的等直杆受扭时:①横截面上外棱角处(凸角)必无剪应力;②横截面上内棱角处(凹角)可能有剪应力

答疑 设带有外棱角的构件的形状和受力如图

取尖角处的应力状态

由于单元体的两个面均为自由表面,固有σα=0、τα=0、σβ=0、τβ=0。因而得到尖角处的点应力圆如下

由此可见,该点处的应力圆为一个位于原点的点,应力圆的半径r=0,固得到尖角处τ=0。

设带有内棱角的构件的形状和受力如下图

取图示中的点的应力状态 为

由于单元体的上表面为自由表面,有σy=0、τyx=τxy=0、σx≠0。单元体的应力圆为

由此可见,该点处的应力圆为一个与纵轴相切的圆,应力圆的半径r≠0,应力圆上除了与水平轴的两个交点之外的所有点的纵坐标均不为零,从而确定在该点除了与水平轴的两个交点所代表的方位之外的任何截面上τ≠0。

4、等腰直角三角形单元体上,二直边上只有剪应力,那么斜边表示的截面上的正应力σ、剪应力τ各有多大?

答疑

根据原始单元体的情况可得:σx=0、σy=0、τxy=τ,α=45o,代入任意斜截面的应力计算公式得到:σ45=-τ;τ45=0。

5、在何种情况下,平面应力状态下的应力圆符合以下特征①一个点圆;②圆心在原点;③与铅垂轴相切;

答疑 二向等值拉伸或二向等值压缩时应力圆是一个点圆;

当σ1=-σ3或纯剪切时应力圆的圆心在原点处;

单向拉伸或单向压缩时应力圆与铅垂轴相切;

6、图示中的两种应力状态,是否有存在的可能?如有可能,则当α为何值时才有可能,并简述原因。应力的单位为MPa

答案 a图不存在; B图当α=45度时存在。

答疑 代表a图中的两个平面的点在σ-τ坐标系下的位置分别如图。此二点在同一条铅垂线上,不能位于同一个圆上。固该两个平面上应力值对应的点不在同一个应力圆上,所以此种应力状态不存在。

代表b图中的两个平面的点在σ-τ坐标系下的位置分别如图。此二点在同一条水平线上,作此二点的连线的垂直平分线与水平轴的交点既为应力圆的圆心,此二点可以位于同一个圆上。通过几何分析得到该两点处的半径之间的夹角为90度,固当α=45度时此种应力状态存在。

7、单元体各面上的应力如图,(1)分析该点的应力状态是平面应力状态还是空间应力状态;

(2)求最大剪应力;(应力的单位取MPa)

答案 平面应力状态, τ=120

答疑40所在的平面为主平面,在另外两个方位上σx=σy=τxy,固最大最小正应力为200、0;单元体的三个主应力分别为σ1=200 σ2=0 σ3=4、0 ,τmax=(σ1-σ3)/2

判断 广义虎克定律

1、“一点沿某一方向上的正应力为零,则沿该方向的线应变也为零“

答案 此说法错误

答疑 某方向的线应变除了与本身方向上的正应力有关以外,还与另外两个与该方向相互垂直方位上的正应力有关。固沿此方向上的正应力为零,不能确定本身方向上的线应变也为零。

2、“纯剪状态的体应变为零“

答案 此说法正确

答疑 体应变与三个主应力的代数和成正比。纯剪切状态的三个主应力的代数和为零,固体应变为零。

3“应力超过材料的比例极限后,广义虎克定律不再成立。”

答案 此说法正确

答疑 广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。

4、“若各向同性材料单元体的三个正应力σX>σY>σZ,则相应的三个线应变也是εX>εY>εZ。”

答案 此说法正确

答疑 在正应力较大的方位上线应变也一定较大。

5、“设一点处为非零应力状态,但三个主应力之和为零时,那么单元体的体积不变,而其形状将发生变化。”

答案 此说法正确

答疑 体应变与三个主应力的代数和成正比,固当三个主应力之和为零时单元体的体应变值为零,单元体的体积不变;

单元体为非零应力状态,其形状改变比能μf=(1+μ)[(σ1-σ2)2+(σ1-σ3)2+(σ2-σ3)2]/6E不等于零,固其形状将发生变化。

6、“在单元体的某个方向上有应变就一定有应力,没有应变就一定没有应力“

答案 此说法错误

答疑 该方向的线应变除了与本身方向上的正应力有关以外,还与另外两个与该方向相互垂直方位上的正应力有关。

7、“在构件中凡是剪应变不为零时,则相应的剪应力一定不为零”

答案此说法正确

答疑 某一面内的剪应变只与该面内的剪应力有关γ=τ/G,剪应变不为零,则相应的剪应力一定不为零。

8、“纯剪切状态的单元体既有体积改变,又有形状改变”

答案 此说法错误

答疑 单元体的体应变与三个主应力的代数和成正比,而纯剪切状态的三个主应力的代数和为零,固没有体积改变;形状改变比能μf=(1+μ)[(σ1-σ2)2+(σ1-σ3)2+(σ2-σ3)2]/6E≠0,固纯剪切状态的单元体有形状改变。

选择 广义虎克定律

1、广义虎克定律εi=(σi-u(σj+σk)/E 适用于 。

答案 此说法正确

答疑 横截面的内力只与外载有关,与材料、横截面大小、截面的形状无关。

13、“普通碳钢扭转屈服极限τs=120MPa,剪变模量G=80GPa,则由剪切虎克定律τ=Gγ得到剪应变为γ=1.5×103、rad”

答案 此说法错误

答疑 剪切虎克定律τ=Gγ的适用范围为线弹性、小变形。此时构件的应力已经超过材料的弹性极限,固虎克定律不再适用。

14、“一等直圆杆,当受到扭转时,杆内沿轴线方向会产生拉应变。”

答案 此说法错误

答疑 等直圆杆受扭时,沿杆件的轴线方向没有长度的变化,杆件的变形量是任意两横截面绕轴线发生相对转动。

15、“低碳钢圆柱试件受扭时,沿45螺旋面断裂。”

答案 此说法错误

答疑 低碳钢圆柱试件受扭时,断面位于横截面。

16、“铸铁圆柱试件受扭时,沿横截面断裂”

答案 此说法错误

答疑 铸铁圆柱试件受扭时,断面与轴线大约成45度角的螺旋线。

选择 扭转剪应力

1、阶梯圆轴的最大剪应力发生在:

A:扭矩最大的截面; B:直径最小的截面; C:单位长度扭转角最大的截面; D:不能确定

答案 正确选择:D

答疑 因为最大剪应力一定发生在危险面的危险点处,不仅与横截面的大小、形状有关,还与外载有关,此题没有办法确定危险面,固不能确定最大剪应力发生的具体位置。

2、扭转剪应力计算公式τ=Mρ/IP适用于 :

A:任意截面; B:任意实心截面;

C:任意材料的圆截面; D:线弹性材料的圆截面。

答案 正确选择:D

答疑 此公式推导中应用了虎克定律,固适用于线弹性范围内。且公式中的极惯性矩也是圆截面所特有。

A:弹性体; B:线弹性体; C:各向同性弹性体; D:各向同性线弹性体;

答案 正确选择:D

答疑 广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。

2、图示中单元体处于纯剪切状态,关于45度角方向上的线应变,现有四种说法,正确说法为 。

A:等于零; B:大于零; C:小于零; D:不能确定;

答案 正确选择:C

答疑 根据斜截面上的应力计算公式得到σ45=-τ、σ-45=τ,代入广义虎克定律得到:ε45=(σ45-u(σ45+σz)/E=(-τ- uτ)/E=-τ(1+u)/E<0。

3、图示应力状态,下列各式中,正确的是 。

A: εZ>0 B: εZ=0 C:εZ<0 D: 不能确定

答案 正确选择:B

答疑 单元体中σx=0、σy=0、σz=0。代入广义虎克定律得到εz=(σz-u(σx+σy)/E=0。

4、工字形截面梁E=200GPa,在力偶M的作用下测定A处纵向线应变ε=3×104、,那么梁内最大的正应力= 。

A:30MPa ;B:60 MPa; C:120 MPa D:180 MPa

答案 正确选择:C

答疑 由于A处应变片贴于纵向,固A处的纵向线应变ε=3×104、相当于在0度方位上的线应变ε。考虑到A点位于横截面的最上端,且A点所处的横截面上的弯矩为负,固弯矩在A点产生拉应力,且为单向应力状态,固A点的三个方位上的正应力分别为:σx=M/Wz、σy=0、σz=0。代入广义虎克定律有ε=εx= (σx-u(σy+σz)/E,得到A处的纵向应力为σx=Eε=60 MP。梁的危险截面发生在力偶作用面的右侧,其弯矩是A点所在截面的弯矩的2倍,固梁内的最大正应力发生在力偶作用面右侧的最上端,其大小为σx=2M/Wz=120 MPa。

5、在下列说法正确的是 。

A:在有正应力的方向必有线应变; B:无正应力的方向必无线应变;

C:线应变为零的方向正应力必为零; D:正应力最大的方向线应变也一定最大;

答案 正确选择:D

答疑 根据广义虎克定律εx=(σx-u(σz+σy)/E可知,在正应力最大的方向线应变也最大。

6、已知图示中单元体的σ1、σ2、E、μ,主应变ε1、ε2均已知,那么ε3=。

A:-μ(ε1+ε2) B:-μ(σ1+σ2) /E C:-μ(σ1+σ2) /E D:0

答案 正确选择:B

答疑 由图示中的单元体得到σ3=0,根据广义虎克定律ε3=(σ3-u(σ1+σ2)/E=-μ(σ1+σ2) /E

7、现有两个单元体,比较εx与εy 。

A:εx、εy均相等; B:εx、εy均不等;

C:εx相等、εy不等; D:εx不等、εy相等。

答案 正确选择:A

答疑 根据广义虎克定律εx=(σx-u(σz+σy)/E可得线应变与剪应力无关,只与正应力有关。

8、图示中的应力状态的体应变分别为θ1、θ2、θ3,这三者的关系为: 。

A: θ1>θ2>θ3; B:θ1<θ>2<θ>3; C: θ2<θ>1<θ>3; D:θ1=θ2=θ3;

答案 正确选择:D

答疑 体应变与三个主应力的代数和成正比,三图中的三个主应力的代数和均为120,固三图中的体应变相同。

9、某点的应力状态如图,当三个正应力不变,剪应力增大,那么关于εZ的说法正确的是: 。

A:不变; B:增大; C:减小; D:无法判断。

答案 正确选择:A

答疑 线应变只与正应力有关,与剪力无关。

10、单向应力状态如图,材料的弹性摸量E,泊松比μ。σα、εα分别表示沿n方向的正应力和线应变,下列四各结论正确的是: 。

A:α=0,σα=σ、εα=σ/E B:α=45,σα=σ/2、εα=σ/2E

C:α=90,σα=0、εα=0 D:α=135,σα=σ/2、εα=(1-μ)σ/2E

答案 正确选择: A、D

答疑 α=0表示的是截面的外法线与x轴重合,即以x轴为截面的外法线,此时σα=σ、σα＋90=0,代入广义虎克定律有εα=(σn-u(σn+90+σz)/E=σ/E;

当α=135时,代入任意斜截面的应力计算公式得到σα=σ/2、σα＋90=σ/2,代入广义虎克定律有εα=(σn-u(σn+90+σz)/E=(σ/2- uσ/2)/E=(1-μ)σ/2E;

11、一个受静水压力的小球,下列结论中错误的是: 。

A:球内各点的应力状态均为三向等压; B:球内各点不存在剪应力;

C:小球的体应变为零; D:小球的形状改变比能为零。

答案 正确选择:C

答疑 小球在静水压力的作用下处于三向等值压缩应力状态,三个主应力的代数和不为零,固体应变不等于零。

填空 广义虎克定律

1、材料的弹性模量E,泊松比μ已知,则最大线应变ε1=?

答案 ε1=σ(1+3μ)/E

答疑 单元体的三个主应力分别为σ1=σ、σ2=0、σ3=3、σ,代入广义虎克定律ε1=(σ1-u(σ2+σ3)/E=(σ-μ(3、σ))/E=σ(1+3μ)/E。

2、受扭圆轴上贴三个应变片,实测时应变片 的读数几乎是零。

答案 1、3

答疑 应变片1位于90度角的方位上,应变片3位于0度角的方位上。圆轴扭转时表面上一点处于纯剪切应力状态,其σ=σx=0、σ90=σy=0,σz=0。根据广义虎克定律εx=(σx-u(σz+σy)/E可得,在0度,90度的方位上线应变为零。

3、某点的应力状态如图,该点沿y方向的线应变为εy= 。

答案 (σy-uσx)/E

答疑 根据广义虎克定律εy=(σy-u(σz+σx)/E=(σy-uσx)/E

4、T形截面梁受力如图,在图示中的截面上、下表面处沿轴向线应变分别为:ε上=-0.0004,ε下=0.0002,则此截面中性轴的位置yc= h.

答案 yc= 2 h /3

答疑 在该截面处有正弯矩的作用,产生上压下拉的正应力;上点的三个相互垂直方位上的正应力为σx=-Myc/Iz、σy=0、σz=0;下点的三个相互垂直方位上的正应力为σx=M(h-yc)/Iz、σy=0、σz=0。

测得的应变沿轴向,即为x方位上的线应变。根据广义虎克定律εx=(σx-u(σy+σz)/E得到:ε上=σx/E=- Myc/EIz;ε下=σx/E= M(h-yc)/EIz;作比值得到ε上/ε下=-yc/(h-yc)。得到:yc= 2 h /3。

5、矩形截面简支梁的载荷P未知,已知梁的跨度为L,截面尺寸为b×h,弹性摸量为E。今测定下表面K点处沿轴线方向上的线应变为ε,则梁内的最大正应力为σｍａｘ= 。

答案 2Eε

答疑 K点位于横截面的最下端,只有弯矩产生的正应力,且该截面处的弯矩为正,在K点产生拉应力,K点处的三个相互垂直方位上的正应力分别为σx=M/Wz、σy=0、σz=0;K点处沿轴线方向上的线应变即是沿x方位上的线应变,根据广义虎克定律εx=(σx-u(σy+σz)/E得到ε=σx/E==M/EWz,求得K点在x方位上的正应力为σx=M/Wz=Eε。

而梁内的最大正应力发生在力P作用点的最下端,该截面上的弯矩是K截面弯矩的2倍,固梁内的最大正应力σｍａｘ=2 M/Wz=2Eε。

6、直径为d的实心圆轴受力偶M发生扭转变形,测得圆轴表面与轴线成4、5度角方向上的线应变为ε,则外力偶矩T= ε 。弹性模量E、泊松比μ均为已知

答案 T=πEεd3/16(1+μ)

答疑 圆轴表面上一点为纯剪切应力状态,其应力的大小分别为σx=0、σy=0、τxy=τ。通过任意斜截面上的应力计算公式得到:σ45=-τ,σ－45=τ。代入广义虎克定律ε－45=ε=(σ－45-u(σ45+σz)/E=(1+μ)τ/E,从而求得横截面上剪应力的大小为τ=Eε/(1+μ)。根据扭转剪应力与横截面上扭转之间的关系得到τ=T/Wt,横截面上的扭矩为T=τWt= EεWt/(1+μ)=πEεd3/16(1+μ)。

7、有一立方体,初始边长为1单位,变形后边长为1+ε1、1+ε2、1+ε3;则该立方体的体应变为 。

答案 ε1+ε2+ε3;

答疑 体应变θ=ΔV/V=[(1+ε1)( 1+ε2)( 1+ε3)-1]/1,略去高阶无穷小项,得到体应变为θ=ε1+ε2+ε3。

简述 广义虎克定律

1、圆板在受力前画二个圆,受均匀载荷的作用,受力后二圆会变成什麽形状(圆、椭圆)?

答案 均是圆

答疑 单元体为二向等值拉伸,沿半径方向的变形量相等,固受力后依然是圆。

2、在一受力作用的各向同性物体的表面某点,粘贴两片互相垂直的应变片,能否按测得的应变求出该二方向上的正应力。

答案 能

答疑 此相互垂直的方位分别为x、y方位。根据广义虎克定律εx=(σx-u(σy+σz))/E=(σx-uσy)/E、εy=(σy-u(σx+σz))/E=(σy-uσx)/E,两个方程求解两个未知数。此方案可行。

3、矩形板ABCD,在AD、BC上作用有均匀压力P1,在AB、CD上作用有均匀压力P2，欲使AD、BC二面的相对距离保持不变,那么P1/P2=? 材料的弹性摸量E,泊松比μ

答案 P1/P2=u

答疑 使AD、BC二面的相对距离保持不变,即沿AB方向的线应变为零有εx=0。根据板的各面受到均匀压力作用的特点,得到σx=-P1、σy=-P2。代入广义虎克定律εx=(σx-u(σy+σz)/E有 (-P1+uP2)/E=0,求解得到P1/P2=u。

4、若将单位体积改变定义为体应变,用θ表示。证明:对于主应力为σ1、σ2、σ3的三向应力状态,其体应变为:θ=(1-2u)(σ1+σ2+σ3)/E

答疑体应变等于三个主应变的代数和有θ=ε1+ε2+ε3,通过广义虎克定律引入主应变与主应力之间的关系即可得证。

5、为测圆轴的扭转剪应力,在沿与轴线成45度角的方向上贴一应变片,测出其应变值为ε,于是求得剪应力为τ=σ1=Eε。对吗?

答案 错误

答疑 圆轴表面上一点为纯剪切应力状态,其应力的大小分别为σx=0、σy=0、τxy=-τ。通过任意斜截面上的应力计算公式得到:σ45=τ,σ－45=-τ。代入广义虎克定律ε45=(σ45-u(σ－45+σz)/E=(1+μ)τ/E,从而求得横截面上剪应力的大小为τ=Eε/(1+μ)。

6、一等直杆,当受到轴向拉伸时,杆内会产生剪应变吗?,当受到扭转时,杆内会产生拉应变吗?

答案 会、会

答疑 一等直杆,当受到轴向拉伸时,杆内存在剪应力,根据剪切虎克定律会产生剪应变;受到扭转变形时,杆内存在正应力,会产生线应变。