已知应力状态如图所示,图中应力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求:-|||-(1)主应力大小,主平面的方位;-|||-(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向;-|||-(3)最大切应力。-|||-20 25-|||-50 20-|||-50-|||-(a) (b) (c)-|||-80 30-|||-20-|||-20-|||-40-|||-40-|||-(d)-|||-(e) (f)

步骤 1：确定主应力和主平面方位
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力的大小和主平面的方位。主应力是应力状态下的最大和最小正应力，而主平面是这些应力作用的平面。主应力可以通过求解应力状态的特征方程来确定，而主平面的方位可以通过求解应力状态的特征向量来确定。

步骤 2：计算主应力
对于给定的应力状态，我们可以通过求解应力状态的特征方程来确定主应力。特征方程是通过将应力状态矩阵的行列式设置为零来得到的。对于二维应力状态，特征方程为：
\[ \sigma^2 - (\sigma_x + \sigma_y)\sigma + (\sigma_x\sigma_y - \tau_{xy}^2) = 0 \]
其中，$\sigma_x$ 和 $\sigma_y$ 是主应力，$\tau_{xy}$ 是剪应力。解这个方程可以得到主应力的大小。

步骤 3：计算主平面方位
主平面的方位可以通过求解应力状态的特征向量来确定。特征向量是通过求解应力状态矩阵的特征方程来得到的。对于二维应力状态，特征向量的方位角可以通过以下公式计算：
\[ \tan(2\alpha) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} \]
其中，$\alpha$ 是主平面的方位角。解这个方程可以得到主平面的方位。

步骤 4：计算最大切应力
最大切应力可以通过以下公式计算：
\[ \tau_{max} = \frac{1}{2}|\sigma_1 - \sigma_3| \]
其中，$\sigma_1$ 和 $\sigma_3$ 是主应力。解这个方程可以得到最大切应力的大小。

步骤 5：绘制主平面位置及主应力方向
在单元体上绘制主平面位置及主应力方向，需要根据计算得到的主应力和主平面方位来确定。主应力方向与主平面垂直，主平面方位角为计算得到的方位角。