两单元体分别如图a，b所示。关于其主应力和主方向，下面论述中正确的是（）20MPa-|||-80MPa square 80MPa-|||-20MPa-|||-(a)-|||-80MPa↑-|||-4 80MPa-|||-20MPa-|||-(b)A. 主应力大小和方向均相同 B. 主应力大小相同，但方向不同 C. 主应力大小和方向均不同 D. 主应力大小不同，但方向相同

本题考查平面应力状态下主应力和主方向的判断。解题核心在于：

1. 主应力的计算：通过公式 $\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$，判断两单元体的主应力大小是否相同。
2. 主方向的判断：通过公式 $\tan 2\theta = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$，分析两单元体的主方向是否一致。
3. 关键点：若两单元体的 $\sigma_x$ 和 $\sigma_y$ 交换，且 $\tau_{xy}$ 的大小或方向不同，则主应力大小可能相同，但主方向不同。

图a与图b的应力状态

假设：

• 图a：$\sigma_x = 20\,\text{MPa}$，$\sigma_y = 80\,\text{MPa}$，$\tau_{xy} = 20\,\text{MPa}$；
• 图b：$\sigma_x = 80\,\text{MPa}$，$\sigma_y = 20\,\text{MPa}$，$\tau_{xy} = 20\,\text{MPa}$。

主应力计算

1. 图a：

   • 平均值：$\frac{20 + 80}{2} = 50\,\text{MPa}$；
   • 差值：$\frac{20 - 80}{2} = -30\,\text{MPa}$；
   • 根号项：$\sqrt{(-30)^2 + 20^2} = \sqrt{1300} \approx 36.06\,\text{MPa}$；
   • 主应力：$\sigma_1 = 50 + 36.06 \approx 86.06\,\text{MPa}$，$\sigma_2 = 50 - 36.06 \approx 13.94\,\text{MPa}$。

2. 图b：

   • 平均值：$\frac{80 + 20}{2} = 50\,\text{MPa}$；
   • 差值：$\frac{80 - 20}{2} = 30\,\text{MPa}$；
   • 根号项：$\sqrt{30^2 + 20^2} = \sqrt{1300} \approx 36.06\,\text{MPa}$；
   • 主应力：$\sigma_1 = 50 + 36.06 \approx 86.06\,\text{MPa}$，$\sigma_2 = 50 - 36.06 \approx 13.94\,\text{MPa}$。

结论：两单元体的主应力大小相同。

主方向计算

1. 图a：

   • $\tan 2\theta_a = \frac{2 \cdot 20}{20 - 80} = -\frac{2}{3}$；
   • $2\theta_a = \arctan(-\frac{2}{3})$，$\theta_a$ 为第四象限角。

2. 图b：

   • $\tan 2\theta_b = \frac{2 \cdot 20}{80 - 20} = \frac{2}{3}$；
   • $2\theta_b = \arctan(\frac{2}{3})$，$\theta_b$ 为第一象限角。

结论：两单元体的主方向不同。