题目

硅样品掺入施主磷原子，浓度 N_(d) = 10^16 , (cm)^-3。设 300 , (K) 时杂质全部电离，本征载流子浓度 n_(i) = 1.5 times 10^10 , (cm)^-3。求：（1）热平衡时的电子浓度 n_(0) 和空穴浓度 p_(0)；（2）费米能级 E_(F) 相对于本征费米能级 E_(i) 的位置。

硅样品掺入施主磷原子，浓度 $N_{d} = 10^{16} \, \text{cm}^{-3}$。设 $300 \, \text{K}$ 时杂质全部电离，本征载流子浓度 $n_{i} = 1.5 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}$。求： （1）热平衡时的电子浓度 $n_{0}$ 和空穴浓度 $p_{0}$； （2）费米能级 $E_{F}$ 相对于本征费米能级 $E_{i}$ 的位置。

题目解答

答案

1. 根据 $ n_i^2 = n_0 p_0 $ 和 $ n_0 \approx N_d $，可得： \[ n_0 = 10^{16} \, \text{cm}^{-3}, \quad p_0 = \frac{n_i^2}{n_0} = \frac{(1.5 \times 10^{10})^2}{10^{16}} = 2.25 \times 10^4 \, \text{cm}^{-3} \] 2. 根据 $ n_0 = n_i e^{\frac{E_F - E_i}{kT}} $，可得： \[ E_F - E_i = kT \ln\left(\frac{n_0}{n_i}\right) = 0.0259 \times \ln\left(\frac{10^{16}}{1.5 \times 10^{10}}\right) \approx 0.0259 \times 13.4129 \approx 0.35 \, \text{eV} \] 最终结果： 1. $ n_0 = 10^{16} \, \text{cm}^{-3} $，$ p_0 = 2.25 \times 10^4 \, \text{cm}^{-3} $。 2. $ E_F $ 位于 $ E_i $ 上方约 0.35 eV。

解析

本题主要考查半导体物理中中热平衡载流子浓度的计算以及费米能级位置的确定。解题思路如下：

  1. 计算热平衡时的电子浓度 $n_0$ 和空穴浓度 $p_0$
    • 对于 $N_d\gg n_i$ 的情况，由于杂质全部电离，电子浓度 $n_0$ 近似等于施主杂质浓度 $N_d$。
    • 再根据热平衡时的载流子浓度乘积公式 $n_i^2 = n_0 p_0$，可以计算出空穴浓度 $p_0$。
  2. **计算费米能级 $E_F$ 相对于本征费米能级 $E_i$ 的位置
    • 利用热平衡时电子浓度与费米能级的关系公式 $n_0 = n_i e^{\frac{E_F - E_i}{kT}}$，通过已知的 $n_0$、$n_i$、$kT$（$300K$ 时 $kT\approx0.0259eV$），可以计算出 $E_F - E_i$ 的值，从而确定费米能级的相对位置。

（1）计算热平衡时的电子浓度 $n_0$ 和空穴浓度 $p_0$

    • 因为 $N_d = 10^{16} \, \text{cm}^{-3}$，$n_i = 1.5\times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}$，且 $N_d\gg n_i$，杂质全部电离，所以电子浓度 $n_0$ 近似等于施主杂质浓度 $N_d$，即：
      $n_0 = N_d = 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\) - 根据热平衡时的载流子浓度乘积公式 $n_i^2 = n_0 p_0$，可得空穴浓度 $p_0$ 为： \[p_0 = \frac{n_i^2}{n_0} = \frac{(1.5\times 10^{10})^2}{10^{16}}=\frac{2.25\times 10^{20}}{10^{16}} = 2.25\times 10^{4} \, \text{cm}^{-3}$

（2）计算费米能级 $E_F$ 相对于本征费米能级 $E_i$ 的位置

  • 由热平衡时电子浓度与费米能级关系公式 $n_0 = n_i e^{\frac{E_F - E_i}{kT}}$，可得：
    $E_F - E_i = kT\ln(\frac{n_0}{n_i})$
  • 已知 $300K$ 时 $kT\approx0.0259eV$，$n_0 = 10^{16} \, \text{cm}^{-3}$，$n_i = 1.5\times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}$，代入上式可得：
    [E_F - E_i = 0.0259\times\ln(\ln(\frac{10^{16}}{1.5\times 10^{10}}))
    先计算 $\ln(\frac{10^{16}}{1.5\times 10^{10}})=\frac{10^{16}}{1.5}\times10^{-10}=\frac{1}{1.5}\times10^{6}\approx0.667\times10^{6 = 6.67\times10^{5}$
    再计算 $\ln(6.67\times10^{5})\approx13.4129$
    所以 $E_F - E_i = 0.0259\times13.4129\approx0.35eV$
    因为 $E_F - E_i>0$，所以 $E_F 位于 \(E_i$ 上方约 $0.35eV$。