某岩石试件进行一系列单轴试验，求得抗压强度的平均值为60(MPa)，将同样的岩石在10(MPa)的围压下进行一系列三轴试验求得抗压强度的平均值为90(MPa)。请绘出代表两种试验结果的莫尔应力圆，确定该岩石的内摩擦角varphi及黏聚力c

本题主要考察岩石力学中莫尔 - 库仑强度理论的应用，通过单轴试验和三轴试验的结果来确定岩石的内摩擦角 $\varphi$ 及黏聚力 $c$，并绘制相应的莫尔应力圆。解题的关键在于利用莫尔 - 库仑强度理论公式，结合已知的试验数据建立方程组求解。

1. 莫尔 - 库仑强度理论公式

莫尔 - 库仑强度理论中，岩石的抗剪强度公式为 $\tau_f = c + \sigma_n \tan\varphi$，其中 $\tau_f$ 为抗剪强度，$c$ 为黏聚力，$\sigma_n$ 为正应力，$\varphi$ 为内摩擦角。在绘制莫尔应力圆时，对于单轴压缩试验，最大主应力 $\sigma_1$ 等于抗压强度，最小主应力 $\sigma_3 = 0$；对于三轴压缩试验，最大主应力 $\sigma_1$ 等于抗压强度，最小主应力 $\sigma_3$ 等于围压。

2. 单轴压缩试验分析

已知单轴压缩试验中抗压强度的平均值为 $\sigma_{c1} = 60\text{MPa}$，即 $\sigma_1 = 60\text{MPa}$，$\sigma_3 = 0$。
根据莫尔 - 库仑强度理论，在破坏面上，抗剪强度达到最大值，此时 $\tau_f$ 对应的正应力为 $\frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}$，且 $\tau_f = c + \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} \tan\varphi$。
将 $\sigma_1 = 60\text{MPa}$，$\sigma_3 = 0$ 代入可得：
$\tau_{f1} = c + \frac{60 + 0}{2} \tan\varphi = c + 30\tan\varphi$
又因为在单轴压缩时，破坏面与最大主应力面的夹角为 $45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}$，且此时 $\tau_{f1}$ 达到最大值，同时根据几何关系可知 $\tau_{f1} = \frac{\sigma_1}{2} = 30\text{MPa}$，所以有：
$30 = c + 30\tan\varphi$，即 $\sigma_c = 60 = 2c \tan \beta$（这里设 $\beta = 45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}$）。

3. 三轴压缩试验分析

已知三轴压缩试验中围压 $\sigma_3 = 10\text{MPa}$，抗压强度的平均值为 $\sigma_{c2} = 90\text{MPa}$，即 $\sigma_1 = 90\text{MPa}$。
同样根据莫尔 - 库仑强度理论，在破坏面上有：
$\tau_{f2} = c + \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} \tan\varphi$
将 $\sigma_1 = 90\text{MPa}$，$\sigma_3 = 10\text{MPa}$ 代入可得：
$\tau_{f2} = c + \frac{90 + 10}{2} \tan\varphi = c + 50\tan\varphi$
又因为 $\tau_{f2} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{90 - 10}{2} = 40\text{MPa}$，所以有：
$40 = c + 50\tan\varphi$，即 $90 = 10 \tan^2 \beta + 2c \tan \beta$（这里设 $\beta = 45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}$）。

4. 联立方程求解

联立方程组：
$\begin{cases}60 = 2c \tan \beta \\ 90 = 10 \tan^2 \beta + 2c \tan \beta \end{cases}$
将第一个方程 $2c \tan \beta = 60$ 代入第二个方程可得：
$90 = 10 \tan^2 \beta + 60$
移项可得：
$10 \tan^2 \beta = 90 - 60 = 30$
两边同时除以 10 得：
$\tan^2 \beta = 3$
开方可得：
$\tan \beta = \pm\sqrt{3}$
因为 $\beta = 45^{\circ}+\frac{\varphi}{2} \in (45^{\circ}, 90^{\circ})$，所以 $\tan \beta > 0$，则 $\tan \beta = \sqrt{3}$。
因为 $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$，所以 $\beta = 60^{\circ}$。
又因为 $\beta = 45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}$，所以 $60^{\circ} = 45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}$，移项可得：
$\frac{\varphi}{2} = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$
两边同时乘以 2 得：
$\varphi = 30^{\circ}$
将 $\tan \beta = \sqrt{3}$ 代入 $60 = 2c \tan \beta$ 可得：
$60 = 2c\sqrt{3}$
两边同时除以 $2\sqrt{3}$ 得：
$c = \frac{60}{2\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \, \text{MPa}$

5. 绘制莫尔应力圆

• 单轴压缩试验：
  圆心坐标为 $(\frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}, 0) = (\frac{60 + 0}{2}, 0) = (30, 0)$，半径为 $\frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{60 - 0}{2} = 30$。
• 三轴压缩试验：
  圆心坐标为 $(\frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}, 0) = (\frac{90 + 10}{2}, 0) = (50, 0)$，半径为 $\frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{90 - 10}{2} = 40$。

6. 抗剪强度包线

将 $c = 10\sqrt{3} \, \text{MPa}$，$\varphi = 30^{\circ}$ 代入 $\tau_f = c + \sigma_n \tan\varphi$ 可得：
$\tau_f = 10\sqrt{3} + \sigma_n \tan30^{\circ} = 10\sqrt{3} + \frac{\sigma_n}{\sqrt{3}}$