题目
边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图a)示。已知铜的弹性模量E=100GP:,泊松比=0.34,当受到F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力,体应变以及最大切应力
边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图a)
示。已知铜的弹性模量E=100GP:,泊松比=0.34,当受到F=300kN的均布压力作用时,求该
铜块的主应力,体应变以及最大切应力
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算铜块横截面上的压应力
铜块受到的均布压力为F=300kN，铜块的边长为a=0.1m，因此铜块横截面的面积为A=a^2=0.01m^2。铜块横截面上的压应力为：
${\sigma}_{1}=-\dfrac {F}{A}=-\dfrac {300\times {10}^{3}}{{0.1}^{2}}=-300\times {10}^{6}Pa=-300MPa$
步骤 2：计算铜块的主应力
根据广义胡克定律，铜块的主应力为：
${\sigma}_{2}={\sigma}_{3}=\dfrac {\mu (1+\mu )}{1-{\mu }^{2}}{\sigma}_{1}=\dfrac {0.34(1+0.34)}{1-{0.34}^{2}}\times (-300)=-155MPa$
因此，铜块的主应力为：
${\sigma}_{1}=-300MPa$
${\sigma}_{2}={\sigma}_{3}=-155MPa$
步骤 3：计算铜块的体应变
铜块的体应变为：
$\varepsilon =\dfrac {1-2\nu }{E}({\sigma}_{1}+{\sigma}_{2}+{\sigma}_{3})=\dfrac {1-2\times 0.34}{100\times {10}^{9}}\times (-300-155-155)=-1.96\times {10}^{-4}$
步骤 4：计算铜块的最大切应力
铜块的最大切应力为：
${\tau}_{max}=\dfrac {1}{2}({\sigma}_{1}-{\sigma}_{2})=\dfrac {1}{2}(-300+155)=-72.5MPa$
铜块受到的均布压力为F=300kN，铜块的边长为a=0.1m，因此铜块横截面的面积为A=a^2=0.01m^2。铜块横截面上的压应力为：
${\sigma}_{1}=-\dfrac {F}{A}=-\dfrac {300\times {10}^{3}}{{0.1}^{2}}=-300\times {10}^{6}Pa=-300MPa$
步骤 2：计算铜块的主应力
根据广义胡克定律，铜块的主应力为：
${\sigma}_{2}={\sigma}_{3}=\dfrac {\mu (1+\mu )}{1-{\mu }^{2}}{\sigma}_{1}=\dfrac {0.34(1+0.34)}{1-{0.34}^{2}}\times (-300)=-155MPa$
因此，铜块的主应力为：
${\sigma}_{1}=-300MPa$
${\sigma}_{2}={\sigma}_{3}=-155MPa$
步骤 3：计算铜块的体应变
铜块的体应变为：
$\varepsilon =\dfrac {1-2\nu }{E}({\sigma}_{1}+{\sigma}_{2}+{\sigma}_{3})=\dfrac {1-2\times 0.34}{100\times {10}^{9}}\times (-300-155-155)=-1.96\times {10}^{-4}$
步骤 4：计算铜块的最大切应力
铜块的最大切应力为：
${\tau}_{max}=\dfrac {1}{2}({\sigma}_{1}-{\sigma}_{2})=\dfrac {1}{2}(-300+155)=-72.5MPa$