有一晶格,每个格点上有一个原子,基失(以 nm 为单位)a=3i,b=3j,c=1.5(i+j+k),此处 i,j,k 为笛卡儿坐标系中 x,y,z 方向的单位失量.问:(1)这种晶格属于哪种布拉维格子?(2)原胞的体积和晶胞的体积各等于多少?

考查要点：本题主要考查布拉维格子的分类及原胞、晶胞体积的计算。
解题思路：

1. 判断布拉维格子类型：通过分析基矢的几何关系，确定晶胞的形状和点阵点的位置。
2. 计算体积：利用标量三重积公式计算原胞体积，结合布拉维格子的结构特点推导晶胞体积。
   关键点：

• 体心立方的特征：基矢构成的晶胞中，体心存在点阵点。
• 原胞与晶胞的关系：体心立方中，晶胞包含2个原胞，因此原胞体积是晶胞体积的1/2。

第（1）题

分析基矢关系：

• 基矢 $a=3\mathbf{i}$，$b=3\mathbf{j}$，$c=1.5(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})$。
• 将 $c$ 表示为 $c=\frac{1}{2}(a + b + c')$，其中 $c'=3\mathbf{k}$，说明 $a$、$b$、$c'$ 构成边长为 $3$ 的立方体。
• 基矢 $c$ 位于该立方体的体心，因此属于体心立方布拉维格子。

第（2）题

晶胞体积

晶胞由基矢 $a$、$b$、$c'$ 构成，体积为：
$V_{\text{晶胞}} = a \cdot (b \times c') = 3\mathbf{i} \cdot (3\mathbf{j} \times 3\mathbf{k}) = 3 \times 3 \times 3 = 27 \, (\text{nm}^3) = 27 \times 10^{-30} \, \text{m}^3.$

原胞体积

原胞由基矢 $a$、$b$、$c$ 构成，体积为：
$V_{\text{原胞}} = a \cdot (b \times c) = 3\mathbf{i} \cdot \left[ 3\mathbf{j} \times 1.5(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}) \right] = 13.5 \times 10^{-30} \, \text{m}^3.$