题目
7.4已知应力状态如图所示,图中应力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求:-|||-(1)主应力大小,主平面的方位;-|||-(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向;-|||-(3)最大切应力。-|||-20 25-|||-50 20-|||-50-|||-(a) (b) (c)-|||-20 80 30-|||-40 20 20-|||-40 20-|||-(d) (e) (f)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定主应力和主平面方位
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力和主平面的方位。主应力是应力状态下的最大和最小正应力，而主平面是这些应力作用的平面。主应力可以通过求解应力状态的特征方程得到，而主平面的方位可以通过求解应力状态的特征向量得到。
步骤 2：计算主应力
对于给定的应力状态，我们可以通过求解应力状态的特征方程来计算主应力。特征方程的形式为：
$$
\begin{vmatrix}
{\sigma }_{x}-{\sigma }_{i} & {\tau }_{xy} & {\tau }_{xz} \\
{\tau }_{xy} & {\sigma }_{y}-{\sigma }_{i} & {\tau }_{yz} \\
{\tau }_{xz} & {\tau }_{yz} & {\sigma }_{z}-{\sigma }_{i}
\end{vmatrix}=0
$$
其中，${\sigma }_{i}$是主应力，${\sigma }_{x}$, ${\sigma }_{y}$, ${\sigma }_{z}$是应力状态下的正应力，${\tau }_{xy}$, ${\tau }_{xz}$, ${\tau }_{yz}$是应力状态下的切应力。通过求解这个方程，我们可以得到主应力${\sigma }_{1}$, ${\sigma }_{2}$, ${\sigma }_{3}$。
步骤 3：计算主平面方位
主平面的方位可以通过求解应力状态的特征向量得到。特征向量是与主应力对应的应力状态下的应力矢量。通过求解特征向量，我们可以得到主平面的方位角${\alpha }_{0}$。
步骤 4：计算最大切应力
最大切应力可以通过求解应力状态下的切应力分量得到。最大切应力是应力状态下的最大切应力，可以通过求解应力状态下的切应力分量得到。最大切应力的计算公式为：
$$
{T}_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}
$$
其中，${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{3}$是主应力。
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力和主平面的方位。主应力是应力状态下的最大和最小正应力，而主平面是这些应力作用的平面。主应力可以通过求解应力状态的特征方程得到，而主平面的方位可以通过求解应力状态的特征向量得到。
步骤 2：计算主应力
对于给定的应力状态，我们可以通过求解应力状态的特征方程来计算主应力。特征方程的形式为：
$$
\begin{vmatrix}
{\sigma }_{x}-{\sigma }_{i} & {\tau }_{xy} & {\tau }_{xz} \\
{\tau }_{xy} & {\sigma }_{y}-{\sigma }_{i} & {\tau }_{yz} \\
{\tau }_{xz} & {\tau }_{yz} & {\sigma }_{z}-{\sigma }_{i}
\end{vmatrix}=0
$$
其中，${\sigma }_{i}$是主应力，${\sigma }_{x}$, ${\sigma }_{y}$, ${\sigma }_{z}$是应力状态下的正应力，${\tau }_{xy}$, ${\tau }_{xz}$, ${\tau }_{yz}$是应力状态下的切应力。通过求解这个方程，我们可以得到主应力${\sigma }_{1}$, ${\sigma }_{2}$, ${\sigma }_{3}$。
步骤 3：计算主平面方位
主平面的方位可以通过求解应力状态的特征向量得到。特征向量是与主应力对应的应力状态下的应力矢量。通过求解特征向量，我们可以得到主平面的方位角${\alpha }_{0}$。
步骤 4：计算最大切应力
最大切应力可以通过求解应力状态下的切应力分量得到。最大切应力是应力状态下的最大切应力，可以通过求解应力状态下的切应力分量得到。最大切应力的计算公式为：
$$
{T}_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}
$$
其中，${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{3}$是主应力。